Cho số phức \(z=a+b i(a, b \in \mathbb{R})\) thoả mãn \((3-i)|z|=\frac{1+i \sqrt{7}}{z}+5-i\). Tính P=a+b
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \((3-i)|z|=\frac{1+i \sqrt{7}}{z}+5-i \Leftrightarrow(3-i)|z|=\frac{(1+i \sqrt{7}){\bar{z}}}{|z|^{2}}+5-i\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow(3|z|-5)+(1-|z|) i=\frac{(1+i \sqrt{7}) \bar{z}}{|z|^{2}} \Leftrightarrow(3|z|-5)^{2}+(1-|z|)^{2}=\frac{8|z|^{2}}{|z|^{4}} \\ \Leftrightarrow 10|z|^{4}-32|z|^{3}+26|z|^{2}-8=0 \Leftrightarrow(|z|-2)\left(5|z|^{3}-6|z|^{2}+|z|+2\right)=0 \end{array}\)
\(\Rightarrow|z|=2\) (phương trình \(\left.|5| z\right|^{3}-6|z|^{2}+|z|+4=0\) vô nghiệm do \(|z| \geq 0\)).
Với \(|z|=2\) thay vào biểu thức \((3-i)|z|=\frac{1+i \sqrt{7}}{z}+5-i\) ta được
\(1-i=\frac{1+i \sqrt{7}}{z} \Leftrightarrow z=\frac{1+i \sqrt{7}}{1-i} \Leftrightarrow z=\frac{1-\sqrt{7}}{2}+\frac{1+\sqrt{7}}{2} i \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} a=\frac{1-\sqrt{7}}{2} \\ b=\frac{1+\sqrt{7}}{2} \end{array}\right.\)
Vậy \(a+b=1\)
