Cho k, n và r là ba số tự nhiên. Khi đó \(\begin{equation} \sum_{k=0}^{r} \mathrm{C}_{n+k}^{k} \end{equation}\) bằng với
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Từ tính chất } \mathrm{C}_{n}^{k}+\mathrm{C}_{n}^{k-1}=\mathrm{C}_{n+1}^{k} \text { với } 1 \leq k \leq n ; k, n \in \mathbb{N} \text { suy ra }\)
\(\mathrm{C}_{n+k+1}^{k}=\mathrm{C}_{n+k}^{k-1}+\mathrm{C}_{n+k}^{k} \text { hay } \mathrm{C}_{n+k}^{k}=\mathrm{C}_{n+k+1}^{k}-\mathrm{C}_{n+k}^{k-1}\)
Do dó ta có:
\(\begin{aligned} \mathrm{C}_{n}^{0} &=\mathrm{C}_{n+1}^{0} \\ \mathrm{C}_{n+1}^{1} &=\mathrm{C}_{n+2}^{1}-\mathrm{C}_{n+1}^{0} \\ \mathrm{C}_{n+2}^{2} &=\mathrm{C}_{n+3}^{2}-\mathrm{C}_{n+2}^{1} \\ \mathrm{C}_{n+3}^{3} &=\mathrm{C}_{n+4}^{3}-\mathrm{C}_{n+3}^{2} \\ \ldots &=\ldots \\ \mathrm{C}_{n+r}^{r} &=\mathrm{C}_{n+r+1}^{r}-\mathrm{C}_{n+r}^{r-1} . \end{aligned}\)
\(\text { Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được } \mathrm{C}_{n}^{0}+\mathrm{C}_{n+1}^{1}+\mathrm{C}_{n+2}^{2}+\cdots+\mathrm{C}_{n+r}^{r}=\mathrm{C}_{n+r+1}^{r} \text { . }\)
\(\text { Hay } \sum_{k=0}^{r} \mathrm{C}_{n+k}^{k}=\mathrm{C}_{n+r+1}^{r}\)
