Giả sử \((1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^{10})^{11} = a_0 + a_1x + a_2x^2+ a_3x^3)+ ... + a_{110}x^{110}\) với \(a_0, a_1, a_2, …, a_{110}\) là các hệ số. Giá trị của tổng \( C_{11}^0{a_{11}} - C_{11}^1{a_{10}} + C_{11}^2{a_9} - C_{11}^3{a_8} + ... + C_{11}^{10}{a_1} - C_{11}^{11}{a_0} = T\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\begin{array}{l} A = {\left( {1 + x + {x^2} + {x^3} + ... + {x^{10}}} \right)^{11}} \Leftrightarrow {\left( {1 - x} \right)^{11}}A = {\left( {1 - {x^{11}}} \right)^{11}}\\ \Leftrightarrow \underbrace {\mathop \sum \limits_{k = 0}^{11} C_{11}^k{{\left( { - x} \right)}^k}.\mathop \sum \limits_{i = 0}^{110} {a_i}{x^i}}_P = \underbrace {\mathop \sum \limits_{m = 0}^{11} C_{11}^m{{\left( { - {x^{11}}} \right)}^m}}_Q \end{array}\)
Hệ số của x11 trong P là
\( C_{11}^0{a_{11}} - C_{11}^1{a_{10}} + C_{11}^2{a_9} - C_{11}^3{a_8} + ... + C_{11}^{10}{a_1} - C_{11}^{11}{a_0} = T\)
Hệ số của x11 trong Q là \( - C_{11}^1\)
Vậy \( T = - C_{11}^1 = - 11\)
