Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.ABC\) có đáy là tam giác cân với \(AB=AC=a,\) góc \(\widehat{ABC}={{120}^{0}},\) cạnh bên BB’ = a. Gọi I là trung điểm của CC’. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Ta có: BC =\(a\sqrt{3}\). Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ACI, ABB’, B’C’I:
Suy ra AI = \(\frac{\sqrt{5}}{2}a\), AB’ = \(\sqrt{2}a\), B’I = \(\frac{\sqrt{13}}{2}a\)
Do đó AI2 + AB’2 = B’I2
Vậy tam giác AB’I vuông tại A
\({{S}_{A{{B}^{'}}I}}=\frac{1}{2}AI.A{{B}^{'}}=\frac{\sqrt{10}}{4}{{a}^{2}},{{S}_{ABC}}=\frac{\sqrt{3}}{4}a\)
Gọi \(\alpha \)là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I). Tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB’I.
Suy ra : \({{S}_{A{{B}^{'}}I}}.\cos \alpha ={{S}_{ABC}}\Leftrightarrow \frac{\sqrt{10}}{4}.\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow \cos \alpha =\sqrt{\frac{3}{10}}\)
