Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân đỉnh \(C\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right),SC=a,\overset{\wedge }{\mathop{SCA}}\,=\varphi .\) Xác định góc \(\varphi \) để thể tích khối chóp \(SABC\) lớn nhất.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{align} & BC=AC=a.c\text{os}\varphi ;SA=a.\sin \varphi \\ & {{V}_{SABC}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABC}}.SA=\frac{1}{6}.AC.BC.SA=\frac{1}{6}{{a}^{3}}\sin \varphi .c\text{o}{{\text{s}}^{2}}\varphi \\ & =\frac{1}{6}{{a}^{3}}\sin \varphi \left( 1-{{\sin }^{2}}\varphi \right) \\ \end{align}\)
Xét hàm số: \(f\left( x \right)=x-{{x}^{3}}\) trên khoảng \(\left( 0;1 \right).\)
Ta có: \(f'\left( x \right)=1-3{{x}^{2}},f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}.\)
Từ đó ta thấy trên khoảng \(\left( 0;1 \right)\) hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục và có một điểm cực trị là điểm cực đại, nên tại đó hàm số đạt GTLN hay:
\(\underset{x\in \left( 0;1 \right)}{\mathop{\text{max}}}\,f\left( x \right)=f\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)=\frac{2}{3\sqrt{3}}\) hay \(\varphi =\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}\,\,,\,\,\left( \forall \,0<\varphi <\frac{\pi }{2} \right)\)
