Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh bằng a, mặt bên \(SAB\) là tam giác đều, \(SC=SD=a\sqrt{3}.\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD.\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(I\) là trung điểm AB;J là trung điểm của \(CD\) từ giả thiết ta có:
\(IJ=a;SI=\frac{a\sqrt{3}}{3}\) và \(SJ=\sqrt{S{{C}^{2}}-J{{C}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{11}}{2}\)
.png)
Áp dụng định lý cosin cho tam giác \(S\text{IJ}\) ta có:
\(\cos \left( \widehat{S\text{IJ}} \right)=\frac{\text{I}{{\text{J}}^{2}}\text{+I}{{\text{S}}^{2}}-S{{J}^{2}}}{2.\text{IJ}\text{.IS}}=\frac{{{a}^{2}}+\frac{3{{a}^{2}}}{4}-\frac{11{{a}^{2}}}{4}}{2.a.\frac{a\sqrt{3}}{2}}=-\frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}<0\)
Suy ra, tam giác \(SIJ\) là tam giác có \(\widehat{S\text{IJ}}\) tù. Từ giả thiết tam giác \(SAB\) đều và tam giác \(SCD\) là cân đỉnh \(S.\) Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên \(\left( ABCD \right),\) ta có \(H\) thuộc \(\text{IJ}\) và \(I\) nằm giữa \(HJ\) tức là tam giác vuông \(SHI\) có \(\widehat{H}={{90}^{0}}.\)
Góc \(I\) nhọn và \(\cos \widehat{I}=c\text{os}\widehat{SIH}=-c\text{os}\widehat{S\text{IJ}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\left( \widehat{S\text{IJ}}\,\,va\,\,\widehat{SIH}\,\,ke\,\,\,bu \right)\Rightarrow \sin \widehat{SIH}=\frac{\sqrt{6}}{3}.\)
Xét tam giác SHI ta có \(SH=SI.\sin \widehat{SIH}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Vậy \({{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SH=\frac{1}{3}{{a}^{2}}.\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}.\)
