Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh bằng a, mặt bên \(SAB\) là tam giác đều, \(SC=SD=a\sqrt{3}.\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD.\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(I\) là trung điểm AB;J là trung điểm của \(CD\) từ giả thiết ta có:
\(IJ=a;SI=\frac{a\sqrt{3}}{3}\) và \(SJ=\sqrt{S{{C}^{2}}-J{{C}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{11}}{2}\)
.png)
Áp dụng định lý cosin cho tam giác \(S\text{IJ}\) ta có:
\(\cos \left( \widehat{S\text{IJ}} \right)=\frac{\text{I}{{\text{J}}^{2}}\text{+I}{{\text{S}}^{2}}-S{{J}^{2}}}{2.\text{IJ}\text{.IS}}=\frac{{{a}^{2}}+\frac{3{{a}^{2}}}{4}-\frac{11{{a}^{2}}}{4}}{2.a.\frac{a\sqrt{3}}{2}}=-\frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}<0\)
Suy ra, tam giác \(SIJ\) là tam giác có \(\widehat{S\text{IJ}}\) tù. Từ giả thiết tam giác \(SAB\) đều và tam giác \(SCD\) là cân đỉnh \(S.\) Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên \(\left( ABCD \right),\) ta có \(H\) thuộc \(\text{IJ}\) và \(I\) nằm giữa \(HJ\) tức là tam giác vuông \(SHI\) có \(\widehat{H}={{90}^{0}}.\)
Góc \(I\) nhọn và \(\cos \widehat{I}=c\text{os}\widehat{SIH}=-c\text{os}\widehat{S\text{IJ}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\left( \widehat{S\text{IJ}}\,\,va\,\,\widehat{SIH}\,\,ke\,\,\,bu \right)\Rightarrow \sin \widehat{SIH}=\frac{\sqrt{6}}{3}.\)
Xét tam giác SHI ta có \(SH=SI.\sin \widehat{SIH}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Vậy \({{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SH=\frac{1}{3}{{a}^{2}}.\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}.\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SB vuông góc với đáy (ABC), SB = 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
-
Cho khối lăng trụ đứng ABC A' B' C' có đáy là tam giác đều cạnh a và \(A A^{\prime}=\sqrt{3} a\)3 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
-
Cho hình chóp S.ABC có \(SA \bot \left( {ABC} \right),\Delta ABC\) vuông cân tại A, SA = BC = a. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC
-
Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
-
Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 13, 14, 15, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 300 và có chiều dài bằng 8. Khi đó thể tích khối lăng trụ là
-
Một hình lập phương có tổng diện tích các mặt bằng \(54{\rm{ c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\), thể tích của khối lập phương đó bằng
-
Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, cạnh bên AA’ = 3a và đường chéo AC’ = 5a. Thể tích V của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ bằng bao nhiêu?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a\sqrt 2 \). Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
-
Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A' B' C' D' có \(A A^{\prime}=3 a, A C=4 a, B D=5 a\) , ABCD là hình thoi. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
-
Cho hình chóp đều S.ABCD có AC = 2a, mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 450 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
-
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a và đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) một góc 300. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
-
Cho khối chóp \(S.ABCD\)có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm cúa SA, SB. Tỉ số thể tích \(\frac{{{V}_{S.CDMN}}}{{{V}_{S.CDAB}}}=?\)
-
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có tam giác ABC vuông tại A, AB = AA' = a, AC = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
-
Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh \(a\sqrt 2 \) và chiều cao 3a. Thể tích V của khối chóp đã cho bằng:
-
Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\). Mặt phẳng \(\left( AB'C' \right)\) tạo với mặt đáy góc \({{60}^{0}}\). Tính theo \(a\) thể tích lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).
-
Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có \(AD=60cm\). Ta gấp tấm nhôm theo 2 cạnh MN và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ khuyết 2 đáy. Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất?
.png)
-
Cho hình chóp S ABC . có đáy là tam giác vuông cân tại C, AB = 3. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABC và \(S B=\frac{\sqrt{14}}{2}\). Thể tích của khối chóp đã cho bằng
-
Cho hình lập phương có tổng diện tích các mặt bằng \(12{{\rm{a}}^2}\). Thể tích khối lập phương đó bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại \(A\) và \(D.\) SA vuông góc với mặt đáy \((ABCD);AB=2a,AD=CD=a.\) Góc giữa mặt phẳng \((SBC)\) và mặt đáy \((ABCD)\) là \({{60}^{o}}\). Mặt phẳng (P) đi qua CD và trọng tâm G của tam giác SAB cắt các cạnh SA, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích khối chóp S.CDMN theo thể tích khối chóp \(S.ABCD.\)
-
Cho hình chóp S.ABC biết \(AB = 8,\,\,BC = 4,\widehat {\,ABC} = {60^0}\). Hình chiếu của S lên cạnh AB là điểm K sao cho KB = 3KA. Biết \(SB,\,SC\) cùng hợp với đáy một góc \({60^0}\). Tính thể tích khối chóp S.ABC.
