Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) tạo với nhau góc 60o.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
* Trong (SAB) dựng \(AI \bot SB\) ta chứng minh được \(AI \bot \left( {SBC} \right)\) (1)
Trong (SAD) dựng \(AJ \bot SD\) ta chứng minh được \(AJ \bot \left( {SCD} \right)\) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ góc \(\left( {(SBC),(SCD)} \right) = \left( {AI,AJ} \right) = \widehat {IAJ}\)
* Ta chứng minh được AI = AJ. Do đó, nếu góc \(\widehat {IAJ} = {60^o}\) thì \(\Delta AIJ\) đều ⇒ AI = AJ = IJ
\(\Delta SAB\) vuông tại A có AI là đường cao ⇒ AI.SB = SA.AB ⇒ \(AI = \frac{{SA.AB}}{{SB}}\) (3)
Và có \(S{A^2} = SI.SB\) ⇒ \(SI = \frac{{S{A^2}}}{{SB}}\) (4)
Ta chứng minh được \(IJ{\rm{//}}BD \Rightarrow \frac{{IJ}}{{BD}} = \frac{{SI}}{{SB}} \Rightarrow IJ = \frac{{SI.BD}}{{SB}} = \frac{{S{A^2}.BD}}{{S{B^2}}}\)(5)
Thế (3)&(5) vào \(AI = IJ \Rightarrow AB = \frac{{SA.BD}}{{SB}} \Rightarrow AB.SB = SA.BD\)
\(\Leftrightarrow a.\sqrt {{x^2} + {a^2}} = x.a\sqrt 2 \Leftrightarrow {x^2} + {a^2} = 2{x^2} \Leftrightarrow x = a\)
