Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a và \(BC = a\sqrt 2 \). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, AC, khi đó MN // AB nên
\(\widehat {\left( {AB,SC} \right)} = \widehat {\left( {MN,SC} \right)}\).
Đặt \(\varphi = \widehat {NMP}\), trong tam giác MNP có
\(\cos \varphi = \frac{{M{N^2} + M{P^2} - N{P^2}}}{{2MN.MP}}{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Ta có \(MN = MP = \frac{a}{2}\), \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại A, vì vậy \(P{B^2} = A{P^2} + A{C^2} = \frac{{5{a^2}}}{4}\), \(P{S^2} = \frac{{3{a^2}}}{4}\).
Trong tam giác PBS theo công thứ tính đường trung tuyến ta có
\(P{N^2} = \frac{{P{B^2} + P{S^2}}}{2} - \frac{{S{B^2}}}{4} = \frac{{\frac{{5{a^2}}}{4} + \frac{{3{a^2}}}{4}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{3{a^2}}}{4}\).
Thay MN, MP, NP vào (1) ta được \(\cos \varphi = - \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = {120^0}\).
Vậy \(\widehat {\left( {AB,SC} \right)} = \widehat {\left( {MN,SC} \right)} = {60^0}\).
