Cho hình vuông ABCD cạnh 4a. Lấy H, K lần lượt trên AB, AD sao cho BH=3HA, AK=3KD . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại H lấy S sao cho góc SBH =\({{30}^{\circ }}\). Gọi E là giao điểm của CH và BK. Tính cosin góc giữa SE và BC.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\begin{align} & \text{cos(}\overrightarrow{SE};\overrightarrow{BC})=\frac{\overrightarrow{SE}.\overrightarrow{BC}}{SE.BC} \\ & \overrightarrow{SE}.\overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{SH}+\overrightarrow{HE}).\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{HE}.\overrightarrow{BC}=\frac{9}{25}\overrightarrow{HC}.\overrightarrow{BC}=\frac{9}{25}\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{CB} \\ & =\frac{9}{25}CH.CB.c\text{os}\widehat{HCB}=\frac{9}{25}.CH.CB.\frac{CB}{CH}=\frac{9}{25}.C{{B}^{2}}=\frac{144{{a}^{2}}}{25} \\ \end{align}\)
Ta chứng minh được HK\(\bot \)CH tại E
\(\begin{align} & \frac{HE}{HC}=\frac{HE.HC}{H{{C}^{2}}}=\frac{H{{B}^{2}}}{H{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\frac{9}{25}=>HE=\frac{9}{25}.HC=\frac{9}{25}\sqrt{H{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\frac{9a}{5} \\ & SE=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{E}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}+\frac{81{{a}^{2}}}{25}}=\frac{2a\sqrt{39}}{5}=>c\text{os(}\overrightarrow{SE};\overrightarrow{BC})=\frac{144a}{25}.\frac{5}{2a\sqrt{39}.4a}=\frac{18}{5\sqrt{39}} \\ \end{align}\)
