Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm CD , \(\alpha\) là góc giữa AC và BM . Chọn khẳng định đúng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Gọi O là trọng tâm của \(\Delta B C D \Rightarrow A O \perp(B C D)\)
Trên đường thẳng d qua C và song song BM lấy điểm N sao cho BMCN là hình chữ nhật, từ đó suy ra:
\(\begin{array}{l} (\widehat{A C, B M})=(\widehat{A C, C N})=(\widehat{A C N})=\alpha \\ \text { Có: } C N=B M=\frac{\sqrt{3}}{2} a \text { và } B N=C N=\frac{a}{2} \\ A O^{2}=A B^{2}-B O^{2}=A B^{2}-\left(\frac{2}{3} B M\right)^{2}=\frac{2}{3} a^{2} \end{array}\)
\(O N^{2}=B N^{2}+B O^{2}=\frac{7}{12} a^{2} ; A N=\sqrt{A O^{2}+O N^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2} a \Rightarrow \cos \alpha=\frac{A C^{2}+C N^{2}-A N^{2}}{2 A C \cdot C N}=\frac{\sqrt{3}}{6}\)
