Cho hàm số \(y = {\left( {\dfrac{{\sin x}}{{1 + \cos x}}} \right)^3}\). Biết \(y'=\dfrac{{3{{\sin }^a}x}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^b}}}\). Tính \(a.b\) bằng giá trị nào dưới đây?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(y' = 3{\left( {\dfrac{{\sin x}}{{1 + \cos x}}} \right)^2}.{\left( {\dfrac{{\sin }}{{1 + \cos x}}} \right)^/}\)
Ta có:
\({\left( {\dfrac{{\sin x}}{{1 + \cos x}}} \right)^/} \\= \dfrac{{{{\left( {\sin x} \right)}^/}\left( {1 + \cos x} \right) - {{\left( {1 + \cos x} \right)}^/}.\sin x}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}} \\= \dfrac{{\cos x\left( {1 + \cos x} \right) + {{\sin }^2}x}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}} \\= \dfrac{{\cos x + {{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}} \\= \dfrac{1}{{1 + \cos x}}\)
Vậy \(y' = 3{\left( {\dfrac{{\sin x}}{{1 + \cos x}}} \right)^2}.\dfrac{1}{{1 + \cos x}} = \dfrac{{3{{\sin }^2}x}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^3}}}\)
⇒ \(a = 2, b = 3\)
⇒ \(a.b=6\)
