Cho hàm số \(y = \frac{{2x}}{{x + 1}}\). Tìm điểm M thuộc đồ thị (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox và Oy tại hai điểm A,B và ΔOAB có diện tích bằng \(\frac{1}{4}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTXĐ: D = R ∖{−1}
\(y' = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
Gọi \(M\left( {{x_o};\frac{{2{x_o}}}{{{x_o} + 1}}} \right)\) là điểm cần tìm. Phương trình đường tiếp tuyến Δ tại M của (C) là:
\(y = \frac{2}{{{{\left( {{x_o} + 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_o}} \right) + \frac{{2{x_o}}}{{{x_o} + 1}} = \frac{{2x}}{{{{\left( {{x_o} + 1} \right)}^2}}} + \frac{{2{x_o}^2}}{{{{\left( {{x_o} + 1} \right)}^2}}}.\)
Giao điểm của Δ với trục hoành là \(A\left( { - {x_o}^2;0} \right)\), giao điểm của Δ với trục tung là \(B\left( {0;\frac{{2{x_o}^2}}{{{{\left( {{x_o} + 1} \right)}^2}}}} \right).\)
Diện tích của tam giác OAB là \(S = \frac{1}{2}.{x_o}^2.\frac{{2{x_o}^2}}{{{{\left( {{x_o} + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{{{x_o}^4}}{{{{\left( {{x_o} + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{{{x_o}^2}}{{{x_o} + 1}} = \pm \frac{1}{2}.\)
Giải phương trình bậc hai ta suy ra có hai điểm M thỏa mãn đề bài M(1;1) và \(M\left( { - \frac{1}{2}; - 2} \right).\)
