Cho hàm số \(f(x)=\sqrt{x^{2}-2 x}\). Tìm tập nghiệm S của phương trình \(f^{\prime}(x) \geq f(x)\) có bao nhiêu giá trị nguyên?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Tập xác định của hàm số là: } D=(-\infty ; 0] \cup[2 ;+\infty) \text { . }\)
\(\begin{aligned} &\text { Ta có: } f^{\prime}(x)=\frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-2 x}} \text { . Vậy } f^{\prime}(x) \geq f(x) \Leftrightarrow \frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-2 x}} \geq \sqrt{x^{2}-2 x} \Leftrightarrow \frac{-x^{2}+3 x-1}{\sqrt{x^{2}-2 x}} \geq 0 \text { . }\\ &\text { Với } x \in(-\infty ; 0) \cup(2 ;+\infty), \text { ta có: } \frac{-x^{2}+3 x-1}{\sqrt{x^{2}-2 x}} \geq 0 \Leftrightarrow-x^{2}+3 x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x \in\left[\frac{3-\sqrt{5}}{2} ; \frac{3+\sqrt{5}}{2}\right]\\ &\text { Kết hợp với điều kiện } x \in(-\infty ; 0) \cup(2 ;+\infty), \text { ta có: } x \in\left(2 ; \frac{3+\sqrt{5}}{2}\right] \text { . Mà } x \in \mathbb{Z} \text { nên suy ra } x \in \varnothing \text { . } \end{aligned}\)
Vậy \(S=\varnothing\) hay không có giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
