Cho dãy số xác định bởi: \(\left\{\begin{array}{l} u_{1}=2018 \\ u_{n+1}=\sqrt{u_{n}^{2}+n^{2}+2018} ; n \geq \end{array}\right.\). Giá trị \(8 \sqrt{707}\) là số hạn thứ mấy tỏng dãy số?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có } u_{n+1}=\sqrt{u_{n}^{2}+n^{2}+2018} \Rightarrow u_{n+1}^{2}=u_{n}^{2}+n^{2}+2018 ; n \geq 1 \\ &u_{1}^{2}=2018 \\ &u_{2}^{2}=u_{1}^{2}+1^{2}+2018 \\ &u_{3}^{2}=u_{2}^{2}+2^{2}+2018 \\ &u_{4}^{2}=u_{3}^{2}+3^{2}+2018 \\ &\ldots \quad \ldots \\ &u_{n}^{2}=u_{n-1}^{2}+(n-1)^{2}+2018 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Cộng } n \text { đẳng thức trên theo vế ta được }\\ &u_{n}^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+(n-1)^{2}+2018 n\\ &\text { Mà } 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\\ &1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+(n-1)^{2}=\frac{(n-1) n(2 n-1)}{6}\\ &u_{n}^{2}=\frac{(n-1) n(2 n-1)}{6}+2018 n=\frac{1}{6} n\left(2 n^{2}-3 n+12109\right) \end{aligned}\)
\(\Rightarrow u_{n}=\frac{1}{6} \sqrt{6 n\left(2 n^{2}-3 n+12109\right)}\)
Ta có phương trình
\(\begin{aligned} &\Rightarrow u_{n}=\frac{1}{6} \sqrt{6 n\left(2 n^{2}-3 n+12109\right)} \\ &\Leftrightarrow 8 \sqrt{707}=\frac{1}{6} \sqrt{6 n\left(2 n^{2}-3 n+12109\right)} \\ &\Leftrightarrow n=21 \end{aligned}\)
Vậy số hạng cần tìm là 21
