\(\text { Tính đạo hàm cấp n của hàm số } y=\frac{2 x+1}{x^{2}-3 x+2}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(y=\frac{5}{x-2}-\frac{3}{x-1}\)
Khi đó ta có
\(\begin{array}{l} y^{\prime}=\frac{-5}{(x-2)^{2}}+\frac{3}{(x-1)^{2}} \\ y^{\prime \prime}=\frac{5\left((x-2)^{2}\right)^{\prime}}{(x-2)^{4}}-\frac{3\left((x-1)^{2}\right)^{\prime}}{(x-1)^{4}}=\frac{5 \cdot(2 x-4)}{(x-2)^{4}}-\frac{3(2 x-2)}{(x-1)^{4}}=\frac{5.2 \cdot 1}{(x-2)^{3}}-\frac{3.2 \cdot 1}{(x-1)^{3}} \\ y^{\prime \prime \prime}=\frac{-5.2\left[(x-2)^{3}\right]^{-}}{(x-2)^{6}}+\frac{3.2\left[(x-1)^{3}\right]^{1}}{(x-1)^{6}}=\frac{-5.2 .3(x-2)^{2}}{(x-2)^{6}}+\frac{3.2 \cdot 3(x-1)^{2}}{(x-1)^{6}}=\frac{-5.2 .3}{(x-2)^{4}}+\frac{3.2 .3}{(x-1)^{4}} \end{array}\)
Bằng quy nạp ta chứng minh được \(y^{(\pi)}=\frac{5 \cdot(-1)^{n} \cdot n !}{(x-2)^{n+1}}-\frac{3 \cdot(-1)^{n} \cdot n !}{(x-1)^{n+1}}\)
