\(\text { Cho hàm số } y=-\frac{1}{3} m x^{3}+(m-1) x^{2}+m x+3 \text {. }\)Tìm tham số m để phương trình y'= 0 có hai nghiệm \(x_1;x_2\) thỏa \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=3 .\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Ta có } y^{\prime}=-m x^{2}+2(m-1) x+m x+3 \text { và } y^{\prime}=0 \Leftrightarrow-m x^{2}+2(m-1) x+m x+3=0(*) \text {. }\)
Lại có \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=3 \Leftrightarrow\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2 x_{1} x_{2}=3\)
Yêu cầu bài toán tương đương với
\(\left\{\begin{array} { l } { a \neq 0 } \\ { \Delta ^ { \prime } \geq 0 } \\ { S ^ { 2 } - 2 P = 3 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} m \neq 0 \\ (m-1)^{2}+m^{2} \geq 0 \\ {\left[\frac{2(m-1)}{m}\right]^{2}+2=3} \end{array}\right.\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { m \neq 0 } \\ { 3 m ^ { 2 } - 8 m + 4 = 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { m \neq 0 } \\ { [ \begin{array} { l } { m = 2 } \\ { m = \frac { 2 } { 3 } } \end{array} } \end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} m=2 \\ m=\frac{2}{3} \end{array}\right.\right.\right.\)
