\({S_1}\) là tập nghiệm của bất phương trình \({2.2^x} + {3.3^x} – {6^x} + 1 < 0.\) Gọi \({S_2}\) là tập nghiệm của bất phương trình \({2^{ – x}} < 4.\) Gọi \({S_3}\) là tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x – 1} \right) \le 0.\) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng khi nói về mối quan hệ giữa các tập nghiệm \({S_1},{S_2},{S_3}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai+) Xét bất phương trình \({2.2^x} + {3.3^x} – {6^x} + 1 < 0 \Leftrightarrow {2.2^x} + {3.3^x} + 1 < {6^x}\)
\(\Leftrightarrow 2{\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} + 3{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} + {\left( {\frac{1}{6}} \right)^x} < 1\)
Ta có hàm số \(f\left( x \right) = 2{\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} + 3{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} + {\left( {\frac{1}{6}} \right)^x}\) là hàm nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) và \(f\left( 2 \right) = 1\).
Do đó bất phương trình trên có nghiệm \(x > 2 \Rightarrow {S_1} = \left( {2; + \infty } \right)\).
+) Xét bất phương trình \({2^{ – x}} < 4. \Leftrightarrow {2^{ – x}} < 4 \Leftrightarrow – x < 2 \Leftrightarrow x > – 2 \Rightarrow {S_2} = \left( { – 2; + \infty } \right)\)
+) Xét bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x – 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x – 1} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}1 \Leftrightarrow x – 1 \ge 1 \Leftrightarrow x \ge 2 \Rightarrow {S_3} = \left[ {2; + \infty } \right)\)
Từ đó suy ra \({S_1} \subset {S_3} \subset {S_2}\).
