Khảo sát sự hội tụ của chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{\cos (n + 1)}}{{n\sqrt n }}}\)

Cho chuỗi số dương \(\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{u_n}} \) (1) thỏa \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{1}{8}\). Khẳng định nào dưới đây đúng:

Tìm miền hội tụ của chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{{x^n}}}{{(n + 1){{.7}^n}}}} \)

Tính vi phân cấp 2 của hàm \(z = {\sin ^2}x + {e^{{y^2}}}\)

Cho hàm số \(z = \arctan (xy)\) . Tính \(\frac{{\partial z}}{{\partial z}}(0;1)\)

Cho hàm số \(z = \frac{1}{2}({e^{xy}} + {e^{ - xy}})\) . Tính  \(\frac{{\partial z}}{{\partial y}}(1;1)\)

Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{{1 + {x^2} + {y^2}}}{{{y^2}}}(1 - \cos y)\) 

Chuỗi số dương \(\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{u_n}} (1)\) thỏa \({u_n} \le \frac{1}{{{5^n}}},\forall n\) . Khẳng định nào dưới đây đúng: 

Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{{(1 + {x^2}) + ({y^2} + 1)}}{{{x^2} + {y^2} + 2}}\)

Giải phương trình vi phân \(\frac{{xdx}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{{ydy}}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} = 0\) biết y(0)=0

Cho chuỗi có số hạng tổng quát: \({u_n} = \frac{1}{{n(n + 1)}},n \ge 1\) . Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\) . Kết luận nào sau đây đúng?

Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{{{x^3}y}}{{{x^4} + {y^4}}}\)

Giải phương trình \(y'' - 4y = - 4\)

Cho chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {(\frac{{{n^2} + 2{n^2} + 1}}{{{{(n + 1)}^4}{n^\alpha }}}} )(\alpha là một tham số )\)hội tụ khi và chỉ khi: 

Miền xác định của hàm số \(f(x,y) = \sqrt {4 - {x^2} - {y^2}} - \sqrt[4]{{{x^2} + {y^2} - 1}}\) là tập hợp những điểm nằm trên đường tròn tâm O(0;0) với bán kính:

Cho hàm \(z = {x^6} - {y^5} - {\cos ^2}x - 32y\) . Khẳng định nào sau đây đúng?

Tính tổng riêng thứ n của chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{{9^{n - 1}}}}} \)

Cho hàm số \(z = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} \frac{x}{y}\) . Tính \(\frac{{\partial z}}{{\partial y}}\)

Cho phương trình \(xy' + y = y\ln x\) . Đặt \(z = \frac{1}{y}\) ta được phương trình vi phân

Tìm s để chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{{2^{2s + 1}}}}{{{{(n + 1)}^2}{n^{s - 1}}}}} \) hội tụ:

Nghiệm tổng quát của phương trình \(y' = {(\frac{y}{x})^2}\)