Cho các số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}},\,{{z}_{3}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}+1-4i \right|=2,\,\left| {{z}_{2}}-4-6i \right|=1$ và $\left| {{z}_{3}}-1 \right|=\left| {{z}_{3}}-2+i \right|$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{3}}-{{z}_{2}} \right|$ .

\frac{\sqrt{14}}{2} + 2

$\frac{{\sqrt {14} }}{2} + 2$

\sqrt{29} - 3

$\sqrt {29} - 3$

\frac{\sqrt{14}}{2} + 2 \sqrt{2}

$\frac{{\sqrt {14} }}{2} + 2\sqrt 2$

\sqrt{85} - 3

$\sqrt {85} - 3$

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

Đặt ${{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}i \left( {{x}_{1}},{{y}_{1}}\in \mathbb{R} \right)$

$\left| {{z}_{1}}+1-4i \right|=2\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+1 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-4 \right)}^{2}}=4$

Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ là đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=4$ có tâm ${{I}_{1}}\left( -1\,;4 \right)$ , bán kính ${{R}_{1}}=2$

Đặt ${{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}i \left( {{x}_{2}},{{y}_{2}}\in \mathbb{R} \right)$

$\left| {{z}_{2}}-4-6i \right|=1\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{2}}-4 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-6 \right)}^{2}}=1$ .

Vậy tập hợp điểm N biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$ là đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right):{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=1$ có tâm ${{I}_{2}}\left( 4\,;6 \right)$ , bán kính ${{R}_{2}}=1$

Đặt ${{z}_{3}}={{x}_{3}}+{{y}_{3}}i \left( {{x}_{3}},{{y}_{3}}\in \mathbb{R} \right)$ .

$\left| {{z}_{3}}-1 \right|=\left| {{z}_{3}}-2+i \right|\Leftrightarrow {{x}_{3}}-{{y}_{3}}-2=0$ .

Vậy tập hợp điểm A biểu diễn số phức ${{z}_{3}}$ là đường thẳng d:x-y-2=0.

Khi đó: $P=\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{3}}-{{z}_{2}} \right|=AM+AN$

Mặt khác, $d\left( {{I}_{1}},d\, \right)=\frac{\sqrt{14}}{2}>{{R}_{1}}\,;\,\,d\left( {{I}_{2}},d\, \right)=2\sqrt{2}>{{R}_{2}}$ và ${{I}_{1}},\,{{I}_{2}}$ nằm cùng phía đối với d.

Gọi $\left( {{{{C}'}}_{2}} \right)$ là đường tròn đối xứng với với $\left( {{C}_{2}} \right)$ qua d, suy ra $\left( {{{{C}'}}_{2}} \right):{{\left( x-8 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=1$ và gọi ${N}'$ là điểm đối xứng với N qua d. $\left( {{{{C}'}}_{2}} \right)$ có tâm ${{{I}'}_{2}}\left( 8\,;2 \right)$ , bán kính ${{{R}'}_{2}}=1$ .

Ta có:

$AM+M{{I}_{1}}\ge A{{I}_{1}}\Rightarrow AM\ge A{{I}_{1}}-M{{I}_{1}}=A{{I}_{1}}-2$ .

$AN+N{{I}_{2}}=A{N}'+{N}'{{{I}'}_{2}}\ge A{{{I}'}_{2}}\Rightarrow A{N}'\ge A{{{I}'}_{2}}-{N}'{{{I}'}_{2}}=A{{{I}'}_{2}}-1$ .

Suy ra $P=AM+AN=AM+A{N}'\ge A{{I}_{1}}+A{{{I}'}_{2}}-3\ge {{I}_{1}}{{{I}'}_{2}}-3=\sqrt{85}-3$ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 điểm ${{I}_{1}},\,A,\,{{{I}'}_{2}}$ thẳng hàng.