Trong bài toán kiểm định giả thuyết cho kỳ vọng của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, với cặp giả thuyết, đối thuyết \(\left\{ \begin{array}{l} {H_0}:\mu = {\mu _0}\\ {H_1}:\mu \ne {\mu _0} \end{array} \right.\)

Trường hợp \({\sigma ^2}\) chưa biết, ta chọn thống kê để kiểm định là:

Phân tích biến cố:

- Biến cố B: Gieo được mặt 6 chấm, ký hiệu là B = {6}.

- Biến cố C: Gieo được mặt 5 chấm, ký hiệu là C = {5}.

- Biến cố A: Gieo được ít nhất 5 chấm, ký hiệu là A = {5, 6}.

Phân tích các đáp án:

- Đáp án 1: A = B - C (A bằng B trừ C) không đúng, vì phép trừ biến cố không được định nghĩa trong trường hợp này.

- Đáp án 2: A = B + C (A bằng B cộng C) đúng. Phép cộng biến cố (hợp của hai biến cố) có nghĩa là A xảy ra khi B xảy ra hoặc C xảy ra. Trong trường hợp này, {6} ∪ {5} = {5, 6}, chính là biến cố A.

- Đáp án 3: A = B.C (A bằng B nhân C) không đúng. Phép nhân biến cố (giao của hai biến cố) có nghĩa là A xảy ra khi cả B và C cùng xảy ra. Trong trường hợp này, {6} ∩ {5} = ∅ (tập rỗng), không phải là biến cố A.

- Đáp án 4: Không đáp án nào đúng, là sai, vì đáp án 2 đúng.

Vậy đáp án đúng là A = B + C.

Khi mẫu được lấy ra từ một tổng thể có phân phối chuẩn với phương sai chưa biết, và ta xét đại lượng \(\frac{{(n - 1)s^2}}{{\sigma^2}}\), đại lượng này tuân theo phân phối Khi-bình phương (\(\chi^2\)) với \(n-1\) bậc tự do. Ở đây, \(s^2\) là phương sai mẫu hiệu chỉnh (unbiased sample variance) và \(\sigma^2\) là phương sai của tổng thể. Do đó, đáp án chính xác là đại lượng đã cho tuân theo phân phối Khi-bình phương với n-1 bậc tự do.

Để xác định xem mục tiêu chất lượng năm 2012 của phòng công tác chính trị sinh viên có phù hợp hay không, chúng ta cần thực hiện kiểm định giả thuyết. Giả thuyết gốc (H0) là tỉ lệ sinh viên vi phạm nội quy không vượt quá 2%, và giả thuyết đối (H1) là tỉ lệ này lớn hơn 2%.
\nTrong bài toán này, ta có:
\n- Kích thước mẫu (n): 1000
\n- Số sinh viên vi phạm (x): 25
\n- Tỉ lệ vi phạm mẫu (p̂): x/n = 25/1000 = 0.025 (2.5%)
\n- Tỉ lệ mục tiêu (p0): 2% = 0.02
\n- Mức ý nghĩa (α): 5% = 0.05
\nChúng ta sử dụng kiểm định Z một phía (right-tailed test) cho tỉ lệ.
\nCông thức tính Z:
\nZ = (p̂ - p0) / sqrt[p0(1-p0)/n] = (0.025 - 0.02) / sqrt[0.02(1-0.02)/1000] = 0.005 / sqrt[0.0000196] ≈ 0.005 / 0.004427 ≈ 1.129
\nGiá trị Z tới hạn (Z critical) tại mức ý nghĩa 5% là khoảng 1.645 (tra bảng phân phối Z hoặc sử dụng hàm excel NORM.S.INV(0.95)).
\nVì Z (1.129) < Z critical (1.645), ta không bác bỏ giả thuyết H0. Điều này có nghĩa là, với mức ý nghĩa 5%, chúng ta không có đủ bằng chứng để kết luận rằng tỉ lệ vi phạm thực tế lớn hơn 2%. Vì vậy, có thể nói mục tiêu chất lượng là phù hợp (chưa thể khẳng định là không phù hợp). Tuy nhiên, do tỉ lệ vi phạm thực tế là 2.5% lớn hơn 2%, nên mục tiêu này chưa thực sự phù hợp. Nếu đề bài yêu cầu chọn đáp án chính xác nhất thì ta sẽ chọn đáp án Không phù hợp thực tế.
\nDo đó, đáp án chính xác nhất là "Không phù hợp thực tế".