Khảo sát về thu nhập của một số người làm việc ở một công ty, người ta thu được số liệu sau (đơn vị: triệu đồng/năm) 120; 140; 80; 100; 160; 110; 120; 140; 130; 170; 130; 160; 120; 100; 130; 140; 150; 140; 140; 130; 130; Với độ tin cậy 95%, độ chính xác khi ước lượng thu nhập trung bình của công ty là:

Câu 37:

Gieo một con xúc sắc đồng chất. Gọi B là biến cố gieo được mặt 6 chấm. Gọi C là biến cố được mặt 5 chấm. A là biến cố được ít nhất 5 chấm. Đáp án nào đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Phân tích biến cố:

- Biến cố B: Gieo được mặt 6 chấm, ký hiệu là B = {6}.

- Biến cố C: Gieo được mặt 5 chấm, ký hiệu là C = {5}.

- Biến cố A: Gieo được ít nhất 5 chấm, ký hiệu là A = {5, 6}.

Phân tích các đáp án:

- Đáp án 1: A = B - C (A bằng B trừ C) không đúng, vì phép trừ biến cố không được định nghĩa trong trường hợp này.

- Đáp án 2: A = B + C (A bằng B cộng C) đúng. Phép cộng biến cố (hợp của hai biến cố) có nghĩa là A xảy ra khi B xảy ra hoặc C xảy ra. Trong trường hợp này, {6} ∪ {5} = {5, 6}, chính là biến cố A.

- Đáp án 3: A = B.C (A bằng B nhân C) không đúng. Phép nhân biến cố (giao của hai biến cố) có nghĩa là A xảy ra khi cả B và C cùng xảy ra. Trong trường hợp này, {6} ∩ {5} = ∅ (tập rỗng), không phải là biến cố A.

- Đáp án 4: Không đáp án nào đúng, là sai, vì đáp án 2 đúng.

Vậy đáp án đúng là A = B + C.

Câu 38:

Nếu mẫu lấy ra từ tổng thể có phân phối chuẩn phương sai chưa biết thì: \(N(\mu ,\mathop \sigma \nolimits^2 )\frac{{(n - 1)\mathop s\nolimits^2 }}{{\mathop \sigma \nolimits^2 }}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Khi mẫu được lấy ra từ một tổng thể có phân phối chuẩn với phương sai chưa biết, và ta xét đại lượng \(\frac{{(n - 1)s^2}}{{\sigma^2}}\), đại lượng này tuân theo phân phối Khi-bình phương (\(\chi^2\)) với \(n-1\) bậc tự do. Ở đây, \(s^2\) là phương sai mẫu hiệu chỉnh (unbiased sample variance) và \(\sigma^2\) là phương sai của tổng thể. Do đó, đáp án chính xác là đại lượng đã cho tuân theo phân phối Khi-bình phương với n-1 bậc tự do.

Câu 39:

Phòng công tác chính trị sinh viên đặt ra mục tiêu chất lượng năm 2012 là “tỉ lệ sinh viên qui phạm nội qui là 2%”. Cuối năm, trong 1000 trường hợp ghi nhận thấy có tới 25 sinh viên qui phạm. Với mức ý nghĩa 5%, mục tiêu chất lượng trên có phù hợp không.

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để xác định xem mục tiêu chất lượng năm 2012 của phòng công tác chính trị sinh viên có phù hợp hay không, chúng ta cần thực hiện kiểm định giả thuyết. Giả thuyết gốc (H0) là tỉ lệ sinh viên vi phạm nội quy không vượt quá 2%, và giả thuyết đối (H1) là tỉ lệ này lớn hơn 2%.
\nTrong bài toán này, ta có:
\n- Kích thước mẫu (n): 1000
\n- Số sinh viên vi phạm (x): 25
\n- Tỉ lệ vi phạm mẫu (p̂): x/n = 25/1000 = 0.025 (2.5%)
\n- Tỉ lệ mục tiêu (p0): 2% = 0.02
\n- Mức ý nghĩa (α): 5% = 0.05
\nChúng ta sử dụng kiểm định Z một phía (right-tailed test) cho tỉ lệ.
\nCông thức tính Z:
\nZ = (p̂ - p0) / sqrt[p0(1-p0)/n] = (0.025 - 0.02) / sqrt[0.02(1-0.02)/1000] = 0.005 / sqrt[0.0000196] ≈ 0.005 / 0.004427 ≈ 1.129
\nGiá trị Z tới hạn (Z critical) tại mức ý nghĩa 5% là khoảng 1.645 (tra bảng phân phối Z hoặc sử dụng hàm excel NORM.S.INV(0.95)).
\nVì Z (1.129) < Z critical (1.645), ta không bác bỏ giả thuyết H0. Điều này có nghĩa là, với mức ý nghĩa 5%, chúng ta không có đủ bằng chứng để kết luận rằng tỉ lệ vi phạm thực tế lớn hơn 2%. Vì vậy, có thể nói mục tiêu chất lượng là phù hợp (chưa thể khẳng định là không phù hợp). Tuy nhiên, do tỉ lệ vi phạm thực tế là 2.5% lớn hơn 2%, nên mục tiêu này chưa thực sự phù hợp. Nếu đề bài yêu cầu chọn đáp án chính xác nhất thì ta sẽ chọn đáp án Không phù hợp thực tế.
\nDo đó, đáp án chính xác nhất là "Không phù hợp thực tế".

Câu 40:

Một xạ thủ có 4 viên đạn. Anh ta bắn lần lƣợt từng viên cho đến khi trúng mục tiêu hoặc hết cả 4 viên thì thôi biết xác suất trúng đích là 0.7 . Gọi X là số viên đạn đã bắn. Mốt Mod[X] bằng:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Gọi X là số viên đạn đã bắn. Ta có bảng phân phối xác suất của X như sau:
- P(X=1) = 0.7
- P(X=2) = (1-0.7)*0.7 = 0.3*0.7 = 0.21
- P(X=3) = (1-0.7)^2 * 0.7 = 0.3^2 * 0.7 = 0.063
- P(X=4) = (1-0.7)^3 + (1-0.7)^3 * 0.7 = 0.3^3 + 0.3^3 *0.7=0.027+0.0189=0.0459

Hoặc: P(X=4) = (1-0.7)^3 = 0.3^3 = 0.027 (xạ thủ bắn trượt cả 3 viên đầu)

Vậy ta có: P(X=1) > P(X=2) > P(X=3) > P(X=4). Do đó, mốt của X là Mod[X] = 1.

Câu 41:

Thời gian X (tháng) từ lúc vay đến lúc trả tiền của 1 khách hàng tại ngân hàng A là biến ngẫu nhiên có phân phối N(18; 16). Tính tỉ lệ khách hàng trả tiền cho ngân hàng A trong khoảng từ 12 đến 16 tháng?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tính tỉ lệ khách hàng trả tiền trong khoảng từ 12 đến 16 tháng, ta cần tính xác suất P(12 ≤ X ≤ 16), với X tuân theo phân phối chuẩn N(18; 16). Ở đây, 18 là kỳ vọng (mean) và 16 là phương sai (variance), suy ra độ lệch chuẩn (standard deviation) là √16 = 4.

Ta chuẩn hóa biến ngẫu nhiên X bằng cách sử dụng công thức Z = (X - μ) / σ, trong đó μ là kỳ vọng và σ là độ lệch chuẩn.

Tính Z1 cho X = 12: Z1 = (12 - 18) / 4 = -1.5
Tính Z2 cho X = 16: Z2 = (16 - 18) / 4 = -0.5

Vậy, ta cần tính P(-1.5 ≤ Z ≤ -0.5). Ta có thể viết lại như sau: P(-1.5 ≤ Z ≤ -0.5) = P(Z ≤ -0.5) - P(Z ≤ -1.5).

Sử dụng bảng phân phối Z (bảng phân phối chuẩn tắc), ta tìm được:
P(Z ≤ -0.5) ≈ 0.3085
P(Z ≤ -1.5) ≈ 0.0668

Do đó, P(-1.5 ≤ Z ≤ -0.5) = 0.3085 - 0.0668 = 0.2417

Vậy tỉ lệ khách hàng trả tiền trong khoảng từ 12 đến 16 tháng là khoảng 24,17%.

Câu 42:

Một hiệu sách bán 40 cuốn truyện A, trong đó có 12 cuốn in lậu. Một khách hàng chọn ngẫu nhiên 4 cuốn truyện A. Hỏi khả năng cao nhất khách chọn được bao nhiêu cuốn truyện A không phải in lậu?

Lời giải: