Nếu mẫu lấy ra từ tổng thể có phân phối chuẩn phương sai chưa biết thì: \(N(\mu ,\mathop \sigma \nolimits^2 )\frac{{(n - 1)\mathop s\nolimits^2 }}{{\mathop \sigma \nolimits^2 }}\)

Để xác định xem mục tiêu chất lượng năm 2012 của phòng công tác chính trị sinh viên có phù hợp hay không, chúng ta cần thực hiện kiểm định giả thuyết. Giả thuyết gốc (H0) là tỉ lệ sinh viên vi phạm nội quy không vượt quá 2%, và giả thuyết đối (H1) là tỉ lệ này lớn hơn 2%.
\nTrong bài toán này, ta có:
\n- Kích thước mẫu (n): 1000
\n- Số sinh viên vi phạm (x): 25
\n- Tỉ lệ vi phạm mẫu (p̂): x/n = 25/1000 = 0.025 (2.5%)
\n- Tỉ lệ mục tiêu (p0): 2% = 0.02
\n- Mức ý nghĩa (α): 5% = 0.05
\nChúng ta sử dụng kiểm định Z một phía (right-tailed test) cho tỉ lệ.
\nCông thức tính Z:
\nZ = (p̂ - p0) / sqrt[p0(1-p0)/n] = (0.025 - 0.02) / sqrt[0.02(1-0.02)/1000] = 0.005 / sqrt[0.0000196] ≈ 0.005 / 0.004427 ≈ 1.129
\nGiá trị Z tới hạn (Z critical) tại mức ý nghĩa 5% là khoảng 1.645 (tra bảng phân phối Z hoặc sử dụng hàm excel NORM.S.INV(0.95)).
\nVì Z (1.129) < Z critical (1.645), ta không bác bỏ giả thuyết H0. Điều này có nghĩa là, với mức ý nghĩa 5%, chúng ta không có đủ bằng chứng để kết luận rằng tỉ lệ vi phạm thực tế lớn hơn 2%. Vì vậy, có thể nói mục tiêu chất lượng là phù hợp (chưa thể khẳng định là không phù hợp). Tuy nhiên, do tỉ lệ vi phạm thực tế là 2.5% lớn hơn 2%, nên mục tiêu này chưa thực sự phù hợp. Nếu đề bài yêu cầu chọn đáp án chính xác nhất thì ta sẽ chọn đáp án Không phù hợp thực tế.
\nDo đó, đáp án chính xác nhất là "Không phù hợp thực tế".

Gọi A là biến cố "Chọn được 2 quả màu xanh". Khi đó, số phần tử của không gian mẫu là số cách chọn 4 quả từ 10 quả, trong đó có đúng 2 quả xanh, tức là 2 quả còn lại được chọn từ 5 quả không xanh (2 đỏ, 3 vàng).
Vậy, ta có: \(n(\Omega)) = C_5^2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10\).
Gọi B là biến cố "Chọn được ít nhất 1 quả đỏ trong 4 quả cầu được chọn, biết có 2 quả xanh".
Khi đó, \(\overline{B}\) là biến cố "Không chọn được quả đỏ nào, biết có 2 quả xanh", tức là 2 quả còn lại đều là vàng. Số cách chọn là: \(n(\overline{B})) = C_3^2 = \frac{3!}{2!1!} = 3\).
Suy ra, \(P(\overline{B})) = \frac{n(\overline{B})}{n(\Omega)} = \frac{3}{10} = 0.3\).
Vậy, xác suất cần tìm là: \(P(B) = 1 - P(\overline{B}) = 1 - 0.3 = 0.7 = 70\%\).