Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn \(2x + y{.4^{x + y - 1}} \ge 3\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} + 2x + 4y\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(2x + y{.4^{x + y - 1}} \ge 3 \Leftrightarrow y{.2^{2y}} \ge (3 - 2x){.4^{1 - x}} \Leftrightarrow 2y{.2^{2y}} \ge (3 - 2x){.2^{3 - 2x}}(1).\)
+ Nếu \(3 - 2x \le 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{3}{2}\): (1) đúng với mọi \(y \ge 0.\) Ta có:
\(P = {x^2} + {y^2} + 2x + 4y \ge {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} + {0^2} + 2.\frac{3}{2} + 4.0 = \frac{{21}}{4}.\)
+ Nếu \(3 - 2x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{3}{2}:\) Hàm số \(f(t) = t{.2^t}\) đồng biến trên \({\rm{[}}0; + \infty )\), do đó:
\((1) \Leftrightarrow 2y \ge 3 - 2x \Leftrightarrow 2x + 2y - 3 \ge 0 \Leftrightarrow y \ge \frac{3}{2} - x.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
P = {x^2} + {y^2} + 2x + 4y \ge {x^2} + {\left( {\frac{3}{2} - x} \right)^2} + 2x + 4.\left( {\frac{3}{2} - x} \right) = 2{x^2} - 5x + \frac{{33}}{4}\\
P \ge 2{\left( {x - \frac{5}{4}} \right)^2} + \frac{{41}}{8} \ge \frac{{41}}{8} < \frac{{21}}{4},{\rm{ = }} \Leftrightarrow x = \frac{5}{4} < \frac{3}{2},{\rm{ }}y = \frac{3}{2} - \frac{5}{4} = \frac{1}{4} > 0.
\end{array}\)
Vậy \(\min P = \frac{{41}}{8}.\)
Đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2020
Bộ GD&ĐT mã đề 103
Câu hỏi liên quan
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường \(y = {x^2} - 2\) và \(y = 3x - 2\) bằng
-
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{(a,b,c,d \in )}
\end{array}\) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d?.png)
.png)
-
Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(3;5;1) trên trục Ox có tọa độ là
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
.png)
-
Cho khối chóp có diện tích đáy B = 2 và chiều cao h = 3 Thể tích của khối chóp bằng
-
Với a,b là các số thực dương tùy ý và \(a \ne 1,{\log _{{a^3}}}b\) bằng
-
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 3}}{4} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 2}}{3}.\) Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d?
-
Biết \(\int_1^2 f (x)dx = 2.\) Giá trị của \(int_1^2 3 f(x)dx\) bằng
-
Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + {x^2}\) và đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 5x\) là
-
Trong năm 2019, diện tích rừng trồng mới của tỉnh A là 900 ha. Giả sử diện tích rừng trồng mới của tỉnh A mỗi năm tiếp theo đều tăng 6% so với diện tích rừng trồng mới của năm liền trước. Kể từ sau năm 2019, năm nào dưới đây là năm đầu tiên tỉnh A có diện tích rừng trồng mới trong năm đó đạt trên 1700 ha?
-
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A(1;2;0),B(1;1;2)\) và \(C(2;3;1)\) . Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({2^{{x^2} - 7}} < 4\) là
-
Cho khối nón có bán kính đáy r = 2, chiều cao h = 5 Thể tích của khối nón đã cho bằng
-
Cho \({z_0}\) là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình \({z^2} + 4z + 13 = 0.\) Trên mặt phẳng toa độ, điểm biểu diễn của số phức \(1 - {z_0}\) là
-
Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập hợp \(\{ 1,2,3,4,5,6,7\} .\) Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S, xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn bằng
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = {x^3} - 30x\) trên đoạn [2; 19] bằng
-
Cho khối cầu có bán kính r = 2 Thể tích của khối cầu đã cho bằng
-
Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{x + m}}\) đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; - 5)\) là
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M(2; - 1;2)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{1}.\) Mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với d có phương trình là
