Xét các số phức \(z,\) \(\text{w}\) thỏa mãn \(\left| z \right|=2\) và \(\left| i.\overline{w} \right|=1\). Khi \(\left| iz+w+3-4i \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất, \(\left| z-\text{w} \right|\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(\left| iz+w+3-4i \right|\ge \left| 3-4i \right|-\left| iz+w \right|\ge 5-\left( \left| iz \right|+\left| w \right| \right)\ge 5-\left( 2+1 \right)=2\)
Dấu bằng xảy ra khi
\(\left\{ \begin{align} & w={{k}_{1}}\left( 3-4i \right)\,\,khi\,\,\left( {{k}_{1}}<0 \right) \\ & i.z={{k}_{2}}\left( 3-4i \right)\,\,khi\,\,\left( {{k}_{2}}<0 \right) \\ \end{align} \right.\)
và
\(\left\{ \begin{align} & \left| w \right|=\left| i\overline{w} \right|=1\,\, \\ & \left| iz \right|\,=\left| z \right|=2\, \\ \end{align} \right.\)
Giải hệ trên suy ra \({{k}_{2}}=-\frac{2}{5}\); \({{k}_{1}}=-\frac{1}{5}\).
Hay
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} w = - \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i{\kern 1pt} {\kern 1pt} \\ iz = \frac{{ - 2}}{5}\left( {3 - 4i} \right) \end{array} \right.{\kern 1pt} {\kern 1pt} \\ \Rightarrow - z = \frac{{ - 2i}}{5}\left( {3 - 4i} \right)\\ \Rightarrow z = - \frac{8}{5} - \frac{6}{5}i \end{array}\)
Khi đó \(z-w=-1-2i\) \(\Rightarrow \left| z-\text{w} \right|=\sqrt{5}\).
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Bà Điểm