Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 2}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z + 2}}{2}\) ?

Có bao nhiêu số phức z thoả mãn \(\left| z \right|\left( {z - 6 - i} \right) + 2i = \left( {7 - i} \right)z\)?

Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + {x^2}\) là 

Cho a > 0, b > 0 thoả mãn \({\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{8ab + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right) = 2\). Giá trị của a + 2b bằng

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2\) . Tâm của (S) có tọa độ là

Tập nghiệm của phương trình \(lo{g_3}\left( {{x^2}-7} \right) = 2\) là

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 3y + z-1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông A’B’C’D’ và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO = 2MI (tham khảo hình vẽ). Khi đó sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D’) và (MAB) bằng

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(1 ; 2 ; 3) và đi qua điểm A(5 ; -2 ; -1). Xét các điểm B, C, D thuộc (S) sao cho AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng

\(\int\limits_1^2 {\dfrac{{dx}}{{3x - 2}}} \) bằng

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình \({4^x} - m{.2^{x + 1}} + 2{m^2} - 5 = 0\) có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x + 3m}}\)  nghịch biến trên khoảng \(\left( {6; + \infty } \right)\)

Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\). Hai hàm số \(y = f'\left( x \right),y = g'\left( x \right)\)có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số \(y = g'\left( x \right)\). Hàm số \(h\left( x \right) = f\left( {x + 3} \right) - g\left( {2x - \dfrac{7}{2}} \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?

Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1 ; 14]. Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng

Cho hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}\) có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Xét tam giác đều ABI có hai đỉnh A, B thuộc (C), đoạn thẳng AB có độ dài bằng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thoả mãn \(f\left( 2 \right) =  - \dfrac{1}{{25}}\) và \(f'\left( x \right) = 4{x^3}{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\) với mọi \(x \in R\). Giá trị của \(f\left( 1 \right)\) bằng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 3\end{array} \right.\). Gọi ∆ là đường thẳng đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {0; - 7; - 1} \right)\). Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và ∆ có phương trình là

\(\lim \frac{1}{{2n + 7}}\) bằng

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, OA = OB = a và OC = 2a. Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AC bằng 

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1\) và điểm \(A\left( {2;3;4} \right)\). Xét các điểm M thuộc (S) sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với (S), M luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là:

Với α là số thực dương tùy ý, \(\ln \left( {7a} \right) - \ln \left( {3a} \right)\) bằng