Cho a > 0, b > 0 thoả mãn \({\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{8ab + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right) = 2\). Giá trị của a + 2b bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(4{\rm{a}} + 5b + 1 > 1;\,\,16{{\rm{a}}^2} + {b^2} + 1 > 1;\,\,8{\rm{a}}b + 1 > 1\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{{\rm{a}}^2} + {b^2} + 1} \right) > {\log _{4a + 5b + 1}}1 = 0\\{\log _{8ab + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right) > {\log _{8ab + 1}}1 = 0\end{array} \right.\)
Áp dụng BĐT Cô – si ta có:
\(\begin{array}{l}{\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{{\rm{a}}^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{8ab + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right)\\ \ge 2\sqrt {{{\log }_{4a + 5b + 1}}\left( {16{{\rm{a}}^2} + {b^2} + 1} \right).{{\log }_{8ab + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right)} = 2\sqrt {{{\log }_{8ab + 1}}\left( {16{{\rm{a}}^2} + {b^2} + 1} \right)} \end{array}\)
Lại có \(16{a^2} + {b^2} + 1 \ge 2\sqrt {16{a^2}{b^2}} + 1 = 8ab + 1 \Rightarrow {\log _{8ab + 1}}\left( {16{{\rm{a}}^2} + {b^2} + 1} \right) \ge {\log _{8ab + 1}}\left( {8ab + 1} \right) = 1\)
\( \Rightarrow {\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{{\rm{a}}^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{8ab + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right) \ge 1\)
Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{{\rm{a}}^2} + {b^2} + 1} \right) = {\log _{8ab + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right)\\4a = b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a = b\\{\log _{6b + 1}}\left( {2{b^2} + 1} \right) = {\log _{2{b^2} + 1}}\left( {6b + 1} \right)\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a = b\\{\log _{6b + 1}}\left( {2{b^2} + 1} \right) = \frac{1}{{{{\log }_{6b + 1}}\left( {2{b^2} + 1} \right)}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a = b\\{\log _{6b + 1}}\left( {2{b^2} + 1} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a = b\\6b + 1 = 2{b^2} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{4}\\b = 3\end{array} \right.\\ \Rightarrow a + 2b = \frac{3}{4} + 2.3 = \frac{{27}}{4}\end{array}\)
Chọn C.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Lê Văn Đẩu
Câu hỏi liên quan
-
Từ các chữ số \(1,2,3,4,5,6,7\) lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau?
-
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, OA = OB = a và OC = 2a. Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AC bằng
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = {x^8} + \left( {m - 4} \right){x^5} - \left( {{m^2} - 16} \right){x^4} + 1\) đạt cực tiểu khi \(x = 0\)?
-
\(\lim \frac{1}{{2n + 7}}\) bằng
-
Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 2}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z + 2}}{2}\) ?
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2}\;\)trên đoạn \(\left[ { - 4; - 1} \right]\) bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(1 ; 2 ; 3) và đi qua điểm A(5 ; -2 ; -1). Xét các điểm B, C, D thuộc (S) sao cho AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta: \dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 2}}{2}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - z + 1 = 0\). Đường thẳng nằm trong (P) đồng thời cắt và vuông góc với ∆ có phương trình là
-
Tìm hai số thực x và y thỏa mãn \(\left( {3x + yi} \right) + \left( {4 - 2i} \right) = 5x + 2i\) với i là đơn vị ảo.
-
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
.JPG)
-
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông A’B’C’D’ và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO = 2MI (tham khảo hình vẽ). Khi đó sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D’) và (MAB) bằng
.JPG)
-
\(\int\limits_1^2 {\dfrac{{dx}}{{3x - 2}}} \) bằng
-
Với α là số thực dương tùy ý, \(\ln \left( {7a} \right) - \ln \left( {3a} \right)\) bằng
-
Tập nghiệm của phương trình \(lo{g_3}\left( {{x^2}-7} \right) = 2\) là
-
Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\), khoảng cách từ C đến đường thẳng BB’ bằng 2, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB’ và CC’ lần lượt bằng 1 và \(\sqrt 3 \), hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (A’B’C’) là trung điểm M của B’C’ và A’M = 2. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
-
Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx - 1\) và \(g\left( x \right) = d{x^2} + ex + \frac{1}{2}\,\,\left( {a,b,c,d,e \in R} \right)\). Biết rằng đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là \( - 3; - 1;2\) (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng
.JPG)
-
Cho hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\left( {a,b,c \in R} \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên.
.JPG)
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
-
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} + 3,y = 0,x = 0,x = 2\). Gọi V là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quang trục Ox. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, \(AC =a\) ; \(BC =\sqrt 2 a\), SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a\). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng
-
Một người gửi tiết kiệm vào một ngân hàng với lãi suất 6,6%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhận vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số gửi ban đầu, giả định trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra?
