Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\), khoảng cách từ C đến đường thẳng BB’ bằng 2, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB’ và CC’ lần lượt bằng 1 và \(\sqrt 3 \), hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (A’B’C’) là trung điểm M của B’C’ và A’M = 2. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.JPG)
Qua M dựng mặt phẳng (P) vuông góc với AA’ cắt các cạnh AA’; BB’; CC’ lần lượt tại N, E, F.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AA' \bot NE \Rightarrow NE = d\left( {E;AA'} \right) = d\left( {N;BB'} \right) = d\left( {A;BB'} \right) = 1\\AA' \bot NF \Rightarrow NF = d\left( {F;AA'} \right) = d\left( {N;CC'} \right) = d\left( {A;CC'} \right) = \sqrt 3 \\AA' \bot \left( P \right) \Rightarrow CC' \bot \left( P \right) \Rightarrow CC' \bot EF \Rightarrow EF = d\left( {E;CC'} \right) = d\left( {F;BB'} \right) = d\left( {C;BB'} \right) = 2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \Delta NEF\) vuông tại N (Định lí Pytago đảo)
Lại có \(\dfrac{{ME}}{{MF}} = \dfrac{{MB'}}{{MC'}} = 1 \Rightarrow ME = MF\) (định lí Ta-lét) \( \Rightarrow M\) là trung điểm của EF.
\( \Rightarrow MN = \dfrac{1}{2}EF = 1\)
Xét tam giác vuông AA’M có: \(\dfrac{1}{{M{N^2}}} = \dfrac{1}{{A{M^2}}} + \dfrac{1}{{A'{M^2}}} \Rightarrow 1 = \dfrac{1}{{A{M^2}}} + \dfrac{1}{4} \Rightarrow AM = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \bot AA'\\\left( {A'B'C'} \right) \bot AM\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( P \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AA';AM} \right)} = \widehat {A'MA}\)
\(\cos \widehat {A'MA} = \dfrac{{AM}}{{AA'}} = \dfrac{{\dfrac{2}{{\sqrt 3 }}}}{{\sqrt {\dfrac{4}{3} + 4} }} = \dfrac{1}{2}\)
Dễ thấy tam giác NEF là hình chiếu vuông góc của \(\Delta A'B'C'\) lên mặt phẳng (P)
\( \Rightarrow {S_{\Delta A'B'C'}} = \dfrac{{{S_{\Delta NEF}}}}{{\cos \widehat {A'MA}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}NE.NF}}{{\dfrac{1}{2}}} = 1.\sqrt 3 = \sqrt 3 \)
Vậy thể tích khối lăng trụ là \(V = AM.{S_{\Delta A'B'C'}} = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}.\sqrt 3 = 2\)
Chọn B.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Lê Văn Đẩu
Câu hỏi liên quan
-
Cho a > 0, b > 0 thoả mãn \({\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{8ab + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right) = 2\). Giá trị của a + 2b bằng
-
Một chiếc bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy 3mm và chiều cao bằng 200 mm. Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi được làm bằng than chì. Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao bằng chiều dài của bút và đáy là hình tròn có bán kính 1 mm. Giả định 1 m3 gỗ có giá a (triệu đồng), 1 m3 than chì có giá 9a (triệu đồng). Khi đó nguyên vật liệu làm một bút chì như trên gần nhất với kết quả nào dưới đây?
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(1 ; 2 ; 3) và đi qua điểm A(5 ; -2 ; -1). Xét các điểm B, C, D thuộc (S) sao cho AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng
-
Thể tích của khối trụ tròn xoay có bán kính đáy r và chiều cao h bằng
-
Từ các chữ số \(1,2,3,4,5,6,7\) lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau?
-
Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1 ; 14]. Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng
-
Ông A dự định sử dụng hết 5m2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
-
Cho hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^4} - \dfrac{{14}}{3}{x^2}\) có đồ thị (C). Có bao nhiêu điềm A thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt \(M\left( {{x_1};{y_1}} \right);N\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) (M, N khác A) thoả mãn \({y_1} - {y_2} = 8\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\) ?
-
Tập nghiệm của phương trình \(lo{g_3}\left( {{x^2}-7} \right) = 2\) là
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1\) và điểm \(A\left( {2;3;4} \right)\). Xét các điểm M thuộc (S) sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với (S), M luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là:
-
Số phức 5 + 6i có phần thực bằng
-
Có bao nhiêu số phức z thoả mãn \(\left| z \right|\left( {z - 6 - i} \right) + 2i = \left( {7 - i} \right)z\)?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh \(\sqrt 3 a\) , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a\). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, \(AC =a\) ; \(BC =\sqrt 2 a\), SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a\). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng
-
Một người gửi tiết kiệm vào một ngân hàng với lãi suất 6,6%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhận vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số gửi ban đầu, giả định trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra?
-
Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(-1;1;1), B(2;1;0) và C(1;-1;2). Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC có phương trình là
-
Cho hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\left( {a,b,c \in R} \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên.
.JPG)
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta: \dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 2}}{2}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - z + 1 = 0\). Đường thẳng nằm trong (P) đồng thời cắt và vuông góc với ∆ có phương trình là
-
Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx - 1\) và \(g\left( x \right) = d{x^2} + ex + \frac{1}{2}\,\,\left( {a,b,c,d,e \in R} \right)\). Biết rằng đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là \( - 3; - 1;2\) (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng
.JPG)
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2\) . Tâm của (S) có tọa độ là
