Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông A’B’C’D’ và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO = 2MI (tham khảo hình vẽ). Khi đó sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D’) và (MAB) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có AB // C’D’ \( \Rightarrow \) Giao tuyến của hai mặt phẳng (MAB) và (MC’D’) là đường thẳng đi qua M và song song với AB, C’D’.
Gọi d là đường giao tuyến của hai mặt phẳng trên.
Do \(M \in OI \Rightarrow MA = MB \Rightarrow \Delta MAB\) cân tại M, tương tự \(\Delta MC'D'\) cân tại M. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và C’D’ ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}ME \bot AB \Rightarrow ME \bot d\\MF \bot C'D' \Rightarrow MF \bot d\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {MAB} \right);\left( {MC'D'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {ME;MF} \right)}\)
Kẻ MK // A’I, ta có \(A'K = MI = \frac{1}{3}OI = \dfrac{1}{6}AA'\)
Gọi cạnh hình lập phương là 1 \( \Rightarrow A'K = \dfrac{1}{6} \Rightarrow AK = \dfrac{5}{6}\)
Do A’B’C’D’ là hình vuông cạnh 1 \( \Rightarrow KM = A'I = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow AM = \sqrt {A{K^2} + K{M^2}} = \sqrt {\frac{{43}}{{36}}} \)
Xét tam giác vuông AME có \(ME = \sqrt {A{M^2} - A{E^2}} = \sqrt {\dfrac{{43}}{{36}} - \dfrac{1}{4}} = \dfrac{{\sqrt {34} }}{6}\)
Ta có \(IF = \dfrac{1}{2} \Rightarrow MF = \sqrt {M{I^2} + I{F^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{6}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt {10} }}{6}\)
\(EF = AD' = \sqrt 2 \)
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác EFM có:
\(\cos \widehat {EMF} = \dfrac{{M{E^2} + M{F^2} - E{F^2}}}{{2ME.MF}} = \dfrac{{\dfrac{{34}}{{36}} + \dfrac{{10}}{{36}} - 2}}{{2\dfrac{{\sqrt {34} }}{6}.\dfrac{{\sqrt {10} }}{6}}} = - \dfrac{{7\sqrt {85} }}{{85}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \widehat {\left( {ME;MF} \right)} = \dfrac{{7\sqrt {85} }}{{85}} = \cos \widehat {\left( {\left( {MAB} \right);\left( {MC'D'} \right)} \right)}\\ \Rightarrow \sin \widehat {\left( {\left( {MAB} \right);\left( {MC'D'} \right)} \right)} = \sqrt {1 - {{\left( {\dfrac{{7\sqrt {85} }}{{85}}} \right)}^2}} = \dfrac{{6\sqrt {85} }}{{85}}\end{array}\)
Chọn D.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Lê Văn Đẩu