Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \((S):(x+2)^{2}+y^{2}+(z+5)^{2}=24\) cắt mp \((\alpha): x+y+4=0\) theo giao tuyến là đường tròn \((C)\). Điểm \(M\) thuộc \((C)\) sao cho khoàng cách từ \(M\) đến \(A(4 ;-12 ; 1)\) nhỏ nhất có tung độ bằng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiMặt cầu có tâm \(I\left( -2;0;-5 \right)\), bán kính \(R=2\sqrt{6}\). \(d\left( I,\left( \alpha \right) \right)=\frac{\left| -2+4 \right|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\)lên\(\left( \alpha \right)\Rightarrow H\left( -3;-1;-5 \right)\).
Gọi \({{H}_{1}}\) là hình chiếu của \(A\)lên\(\left( \alpha \right)\Rightarrow {{H}_{1}}\left( 6;-10;1 \right)\).\(\overrightarrow{H{{H}_{1}}}=\left( 9;-9;6 \right)\)
Gọi \(r\)là bán kính đường tròn \((C)\)thì \(r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{22}\).
Đặt \(AM\)ngắn nhất khi \({{H}_{1}}M\)ngắn nhất khi \({{H}_{1}},M,H\)thẳng hàng và \(M\) nằm giữa \({{H}_{1}}H\).
Phương trình đường
\({{H}_{1}}H:\left\{ \begin{align} & x=-3+3t \\ & y=-1-3t \\ & z=-5+2t \\ \end{align} \right.\)
\(\Rightarrow M\left( -3+3t;-1-3t;-5+2t \right)\).
\({{\left( -1+3t \right)}^{2}}+{{\left( -1-3t \right)}^{2}}+{{\left( 2t \right)}^{2}}=24\)\( \Leftrightarrow {{t}^{2}}-1=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=1 \\ & t=-1 \\ \end{align} \right.\).
\(\begin{align} & t=1\Rightarrow M\left( 0;-4;-3 \right)\\&\Rightarrow \overrightarrow{M{{H}_{1}}}=\left( 6;-6;4 \right)\Rightarrow M{{H}_{1}}=2\sqrt{22} \\ & t=-1\Rightarrow M\left( -6;2;7 \right)\\&\Rightarrow \overrightarrow{M{{H}_{1}}}=\left( 12;-12;7 \right)\Rightarrow M{{H}_{1}}=\sqrt{337} \\ \end{align}\)
Do \(2\sqrt{22} < \sqrt{337} \)\( \Rightarrow M\left( 0;-4;-3 \right)\)\( \Rightarrow y=-4\).
Chọn B
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Trần Khai Nguyên
Câu hỏi liên quan
-
Cho CSC \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có số hạng đầu \({{u}_{1}}=2\) và số hạng thứ tư \({{u}_{4}}=17\). Công sai của cấp số cộng đã cho bằng?
-
Gọi \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị sau \(y={{x}^{2}}-2x\), \(y=0\) trong mặt phẳng \(Oxy\). Quay hình \(\left( H \right)\) quanh trục hoành ta được một khối tròn xoay có thể tích bằng?
-
Cho HS \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Nghiệm của phương trình sau \({{\log }_{2}}\left( x-1 \right)=4\) là?
-
Cho hàm số bậc bốn \(y=f\left( x \right)\). Biết hàm số \(y={f}'\left( 1+x \right)\) có đồ thị như trong hình:
.PNG)
Có bao nhiêu số nguyên dương \(m\) sao cho hàm số \(g\left( x \right)=f\left( -{{x}^{2}}+2x-2022+m \right)\) đồng biến trên \(\left( 0\,;\,1 \right)\)?
-
Đường TCĐ của đồ thị hàm số \(y=\frac{x}{x-1}\) là?
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mp \(\left( ABC \right)\), \(SA=1\) và đáy \(ABC\) là tam giác đều với độ dài cạnh bằng 2. Tính góc giữa mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\)?
-
Cho HS \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=\frac{2}{3}\) và \(\left( \sqrt{x}+\sqrt{x+1} \right).{f}'\left( x \right)=1,\forall x\ge -1\). Biết \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\frac{a\sqrt{2}+b}{15}\) với \(a,b\in \mathbb{Z}\). Tính \(T=a+b\)?
-
Cho hàm số sau
\(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & 3{{x}^{2}}\ln \left( x+1 \right)\text{ khi }x\ge 0 \\ & 2x\sqrt{{{x}^{2}}+3}+1\text{ khi }x<0 \\ \end{align} \right.\).
Biết \(\int\limits_{\frac{1}{e}}^{e}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}dx}=a\sqrt{3}+b\ln 2+c\) với \(a,b,c\in \mathbb{Q}\). Giá trị của \(a+b+6c\) bằng?
-
Biết rằng đồ thị \((H):y=\frac{{{x}^{2}}+2x+m}{x-2}\) có 2 điểm cực trị \(A,B\). Hãy tính k/c từ gốc tọa độ đến đường thẳng \(AB\)?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị là đường cong như hình vẽ:
Số nghiệm của phương trình \(2f\left( x \right)+1=0\) là?
-
Cho khối cầu có bán kính \(R=6\). Tính thể tích khối cầu bằng?
-
Biết rằng \({{\log }_{3}}4=a\) và \(T={{\log }_{12}}18\). Phát biểu nào là đúng?
-
Cho số phức sau \(z=2+i\). Mô đun của số phức \(\text{w}=\overline{z}+3z\) bằng?
-
Có tất cả bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {{z}^{2}}-2z+7 \right)\left( z-2{{\overline{z}}^{2}} \right)=0\)?
-
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\log _{3}^{2}x-m{{\log }_{9}}{{x}^{2}}+2-m=0\) có nghiệm \(x\in \left[ 1;9 \right]\)?
-
Cho hình trụ có bán kính \(r=2\) và chiều cao \(h=3\). Diện tích xung quanh Sxq của hình trụ này bằng?
-
Cho các số phức sau \(z=2+i\) và \(\omega =3-2i\). Phần ảo của số phức \(z+2\omega \) bằng?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( 1;1;-2 \right)\) và đt \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-2}\). Đường thẳng qua \(A\) và song song với \(d\) có phương trình tham số là?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và dấu của đạo hàm cho bởi công thức sau:
Hàm số \(f\left( x \right)\) có mấy điểm cực trị?
