Có tất cả bao nhiêu bộ \(\left( x;y \right)\) với \(x,y\) nguyên và \(1\le x,y\le 2020\) thỏa mãn \(\left( xy+2x+4y+8 \right){{\log }_{3}}\left( \frac{2y}{y+2} \right)\le \left( 2x+3y-xy-6 \right){{\log }_{2}}\left( \frac{2x+1}{x-3} \right)\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTừ giả thiết ta thấy chỉ cần xét trong điều kiện \(3 < x\le 2020\) và \(1\le y\le 2020\).
Ta có: \(\left( xy+2x+4y+8 \right){{\log }_{3}}\left( \frac{2y}{y+2} \right)\le \left( 2x+3y-xy-6 \right){{\log }_{2}}\left( \frac{2x+1}{x-3} \right)\)
\(\Leftrightarrow \left( x+4 \right)\left( y+2 \right){{\log }_{3}}\left( \frac{2y}{y+2} \right)\)\( \le \left( 2-y \right)\left( x-3 \right){{\log }_{2}}\left( \frac{2x+1}{x-3} \right)\) \(\left( 1 \right)\)
Do \(y\) nguyên dương nên ta chỉ cần xét các trường hợp sau:
T.H1. \(y=1\), khi đó bất phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành:
\(3\left( x+4 \right){{\log }_{3}}\left( \frac{2}{3} \right)\)\( \le \left( x-3 \right){{\log }_{2}}\left( \frac{2x+1}{x-3} \right)\)\( \Leftrightarrow 3.\frac{x+4}{x-3}.{{\log }_{3}}\left( \frac{2}{3} \right)-{{\log }_{2}}\left( \frac{2x+1}{x-3} \right)\le 0\).
- Xét hàm số: \(f\left( x \right)\)\( =3.\frac{x+4}{x-3}.{{\log }_{3}}\left( \frac{2}{3} \right)-{{\log }_{2}}\left( \frac{2x+1}{x-3} \right)\) với \(x\in \left( 3;2020 \right]\).
Có: \({f}'\left( x \right)\)\( =3.{{\log }_{3}}\left( \frac{2}{3} \right).\frac{-7}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}-\frac{-7\left( x-3 \right)}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}\left( 2x+1 \right).\ln 2}\)
\(=\frac{-7}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}\left( 3.{{\log }_{3}}\left( \frac{2}{3} \right)-\frac{x-3}{\left( 2x+1 \right).\ln 2} \right)>0,\,\,\forall x>3\), do đó \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( 3;+\infty \right)\).
\(\Rightarrow f\left( x \right)\)\( \le f\left( 2020 \right),\,\,\forall x\in \left( 3;2020 \right]\)
\(\Leftrightarrow f\left( x \right)\)\( \le 3.\frac{2024}{2017}.{{\log }_{3}}\left( \frac{2}{3} \right)-{{\log }_{2}}\left( \frac{4041}{2017} \right)<0,\,\,\forall x\in \left( 3;2020 \right]\)
Do đó bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\in \left( 3;2020 \right]\).
Lại do \(x\in \mathbb{Z}\) nên \(x\in \left\{ 4;5;6;...;2020 \right\}\), hay trường hợp này có \(2017\) cặp số \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn.
T.H2: \(y=2\), khi đó bất phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành: \(0\le 0\) luôn đúng với mọi \(x\in \left( 3;2020 \right]\).
Do đó trường hợp này có \(2017\) cặp số \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn bài toán.
T.H3. \(y>2\), khi đó \(\frac{2y}{y+2}>1\Rightarrow VT\left( 1 \right)>0\).
Do đó để BPT \(\left( 1 \right)\) có nghiệm thì điều kiện cần là \(VP\left( 1 \right)>0\)
\(\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( \frac{2x+1}{x-3} \right)<0\)\( \Leftrightarrow \frac{2x+1}{x-3}<1\)\( \Leftrightarrow 2x+1
Trường hợp bày không có giá trị nào thỏa mãn.
Vậy có tất cả \(4034\) cặp \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn B
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Trần Khai Nguyên
Câu hỏi liên quan
-
Cho HS \(f\left( x \right)\), \(g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ 0;\,2 \right]\) và \(\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=2\), \(\int\limits_{0}^{2}{g\left( x \right)\text{d}x}=-2\). Tính \(\int\limits_{0}^{2}{\left[ 3f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]\text{d}x}\)?
-
Cho 6 HS gồm 2 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang. Tính xác suất để nhóm bất kì 3 học sinh liền kề nhau trong hàng luôn có mặt học sinh của 3 lớp A, B, C?
-
Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(C\), \(AB=2a\) và góc tạo bởi 2 mặt phẳng \(\left( AB{C}' \right)\) và \(\left( ABC \right)\) bằng \(60{}^\circ \). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \({A}'{C}'\) và \(BC\). Mặt phẳng \(\left( AMN \right)\) chia khối lăng trụ thành hai phần. Thể tích của phần nhỏ bằng?
-
Biết rằng đồ thị \((H):y=\frac{{{x}^{2}}+2x+m}{x-2}\) có 2 điểm cực trị \(A,B\). Hãy tính k/c từ gốc tọa độ đến đường thẳng \(AB\)?
-
TXĐ của hàm số \(y={{\left( 2-x \right)}^{\frac{1}{2}}}\) là?
-
Cho HS \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), có đồ thị \({f}'\left( x \right)\) như hình:
.PNG)
Số điểm cực tiểu của hàm số \(g\left( x \right)=f\left( -{{x}^{2}}+x \right)\) là?
-
Cho các số phức sau \(z=2+i\) và \(\omega =3-2i\). Phần ảo của số phức \(z+2\omega \) bằng?
-
Cho số phức \(z=2i+1\). Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức \(z\) trên mặt phẳng tọa độ?
-
Cho số phức sau \(z=2+i\). Mô đun của số phức \(\text{w}=\overline{z}+3z\) bằng?
-
Cho HS \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Đường TCĐ của đồ thị hàm số \(y=\frac{x}{x-1}\) là?
-
Có tất cả bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh gồm nam và nữ từ nhóm \(10\) học sinh gồm \(4\) nam và \(6\) nữ?
-
Tập nghiệm của bất phương trình sau \({{5}^{2x+1}}\le 25\) là?
-
Xét hàm số \(f\left( x \right)=\left| \frac{mx-2\sqrt{x+4}}{2x+4} \right|\) với \(m\) là tham số thực. Có tất cả bao nhiêu số nguyên \(m\) thỏa mãn điều kiện \(0 < \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right) < 1\)?
-
Cho khối cầu có bán kính \(R=6\). Tính thể tích khối cầu bằng?
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y+1=0\). Hãy tính diện tích của mặt cầu \((S)\)?
-
Cho hệ tọa độ \({O x y z}\), cho tam giác \({A B C}\) có \({A B=2 A C}\) và điểm \(M(2 ; 0 ; 4)\). Biết điểm \(B\) thuộc đường thẳng \(d: \frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1}\), điểm \(C\) thuộc mặt phẳng \((P): 2 x+y-z-2=0\) và \({A M}\) là phân giác trong của tam giác \({A B C}\) kẻ từ \(A(M \in B C)\). Phương trình đường thẳng \({B C}\) là?
-
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy là \(B=3\) và chiều cao \(h=4\). Thể tích của khối lăng trụ này bằng?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và dấu của đạo hàm cho bởi công thức sau:
Hàm số \(f\left( x \right)\) có mấy điểm cực trị?
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?
