Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(C\), \(AB=2a\) và góc tạo bởi 2 mặt phẳng \(\left( AB{C}' \right)\) và \(\left( ABC \right)\) bằng \(60{}^\circ \). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \({A}'{C}'\) và \(BC\). Mặt phẳng \(\left( AMN \right)\) chia khối lăng trụ thành hai phần. Thể tích của phần nhỏ bằng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.PNG)
Gọi \(I\) là trung điểm \(AB\), suy ra \(AB\bot \left( CI{C}' \right)\) nên góc giữa \(\left( {C}'AB \right)\) và \(\left( ABC \right)\) là góc \(\left( CI,{C}'I \right)\), suy ra \(\widehat{{C}'IC}=60{}^\circ \).
Tam giác \({C}'IC\) vuông tại \(C\) nên \({C}'C=CI\cdot \tan \widehat{{C}'IC}=\frac{AB}{2}\cdot \tan 60{}^\circ =a\sqrt{3}\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là \({{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CI={{a}^{2}}\).
Thể tích khối lăng trụ là \(V=C{C}'\cdot {{S}_{ABC}}=a\sqrt{3}\cdot {{a}^{2}}={{a}^{3}}\sqrt{3}\).
Trong \(\left( AC{C}'{A}' \right)\), kéo dài \(AM\) cắt \(C{C}'\) tại \(O\).
Suy ra \({C}'M\) là đường trung bình của \(\Delta OAC\), do đó \(OC=2C{C}'=2a\sqrt{3}\).
Thể tích khối chóp \({{V}_{O.ACN}}=\frac{1}{3}\cdot {{S}_{ACN}}\cdot OC=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot {{S}_{ABC}}\cdot 2C{C}'=\frac{1}{3}V\).
Thể tích khối chóp \({{V}_{O.{C}'ME}}=\frac{1}{3}\cdot {{S}_{{C}'ME}}\cdot O{C}'=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{8}{{S}_{{A}'{B}'{C}'}}\cdot O{C}'=\frac{1}{24}V\).
Do đó \({{V}_{{C}'EM.CAN}}={{V}_{O.ACN}}-{{V}_{O.{C}'ME}}=\frac{1}{3}V-\frac{1}{24}V=\frac{7}{24}V=\frac{7}{24}\cdot {{a}^{3}}\sqrt{3}=\frac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}\).
Vậy phần thể tích nhỏ hơn là \({{V}_{{C}'EM.CAN}}=\frac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}\).
Chọn D
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Trần Khai Nguyên
Câu hỏi liên quan
-
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy là \(B=3\) và chiều cao \(h=4\). Thể tích của khối lăng trụ này bằng?
-
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(2a\), cạnh bên bằng \(3a\).
.PNG)
K/c từ \(A\) đến mp \(\left( SCD \right)\) bằng?
-
Có tất cả bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh gồm nam và nữ từ nhóm \(10\) học sinh gồm \(4\) nam và \(6\) nữ?
-
TXĐ của hàm số \({y=\sqrt{\log _{\frac{1}{2}}\left(x^{2}+7 x\right)+3}}\) là?
-
Cho hàm số bậc bốn \(y=f\left( x \right)\). Biết hàm số \(y={f}'\left( 1+x \right)\) có đồ thị như trong hình:
.PNG)
Có bao nhiêu số nguyên dương \(m\) sao cho hàm số \(g\left( x \right)=f\left( -{{x}^{2}}+2x-2022+m \right)\) đồng biến trên \(\left( 0\,;\,1 \right)\)?
-
Cho HS \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mp \(\left( P \right):\,2x+y-z+3=0\). Điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\)?
-
Có tất cả bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {{z}^{2}}-2z+7 \right)\left( z-2{{\overline{z}}^{2}} \right)=0\)?
-
Nghiệm của phương trình sau \({{\log }_{2}}\left( x-1 \right)=4\) là?
-
Cho hệ tọa độ \({O x y z}\), cho tam giác \({A B C}\) có \({A B=2 A C}\) và điểm \(M(2 ; 0 ; 4)\). Biết điểm \(B\) thuộc đường thẳng \(d: \frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1}\), điểm \(C\) thuộc mặt phẳng \((P): 2 x+y-z-2=0\) và \({A M}\) là phân giác trong của tam giác \({A B C}\) kẻ từ \(A(M \in B C)\). Phương trình đường thẳng \({B C}\) là?
-
Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \((S):(x+2)^{2}+y^{2}+(z+5)^{2}=24\) cắt mp \((\alpha): x+y+4=0\) theo giao tuyến là đường tròn \((C)\). Điểm \(M\) thuộc \((C)\) sao cho khoàng cách từ \(M\) đến \(A(4 ;-12 ; 1)\) nhỏ nhất có tung độ bằng?
-
Cho số phức \(z=2i+1\). Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức \(z\) trên mặt phẳng tọa độ?
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?
-
Biết rằng \({{\log }_{3}}4=a\) và \(T={{\log }_{12}}18\). Phát biểu nào là đúng?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và dấu của đạo hàm cho bởi công thức sau:
Hàm số \(f\left( x \right)\) có mấy điểm cực trị?
-
Với \(a,b\) là các số thực dương tùy ý, ta có \(\log \left( {{a}^{5}}{{b}^{10}} \right)\) bằng?
-
TXĐ của hàm số \(y={{\left( 2-x \right)}^{\frac{1}{2}}}\) là?
-
Xét hàm số \(f\left( x \right)=\left| \frac{mx-2\sqrt{x+4}}{2x+4} \right|\) với \(m\) là tham số thực. Có tất cả bao nhiêu số nguyên \(m\) thỏa mãn điều kiện \(0 < \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right) < 1\)?
-
Đường TCĐ của đồ thị hàm số \(y=\frac{x}{x-1}\) là?
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mp \(\left( ABC \right)\), \(SA=1\) và đáy \(ABC\) là tam giác đều với độ dài cạnh bằng 2. Tính góc giữa mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\)?
