Có tất cả bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {{z}^{2}}-2z+7 \right)\left( z-2{{\overline{z}}^{2}} \right)=0\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(\left( {{z}^{2}}-2z+7 \right)\left( z-2{{\overline{z}}^{2}} \right)=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{z}^{2}}-2z+7=0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & z-2{{\overline{z}}^{2}}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.\)
Ta thấy \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm \(z=1\pm \sqrt{6}i\).
Xét phương trình \(\left( 2 \right)\). Giả sử số phức \(z=a+bi\,\,\,\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\,\,\,\Rightarrow \,\bar{z}=a-bi\)
Theo đề bài \(\Leftrightarrow a+bi-2{{\left( a-bi \right)}^{2}}=0\)
\(\Leftrightarrow a-2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+\left( b+4ab \right)i=0\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a-2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}=0\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \\ & b+4ab=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right) \\ \end{align} \right.\)
Xét phương trình \(\left( 4 \right)\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & b=0 \\ & a=-\frac{1}{4} \\ \end{align} \right.\)
+ Khi \(b=0\) thế vào \(\left( 3 \right)\) ta được \(a-2{{a}^{2}}=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=0 \\ & a=\frac{1}{2} \\ \end{align} \right.\)
\(\Rightarrow \left[ \begin{align} & z=0 \\ & z=\frac{1}{2} \\ \end{align} \right.\).
+ Khi \(a=-\frac{1}{4}\) thế vào \(\left( 3 \right)\) ta được \(2{{b}^{2}}-\frac{3}{8}=0\)\( \Leftrightarrow b=\pm \frac{\sqrt{3}}{4}\)\(\Rightarrow z=-\frac{1}{4}\pm \frac{\sqrt{3}}{4}i\).
Vậy có 6 số phức thỏa mãn.
Chọn C
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Trần Khai Nguyên
Câu hỏi liên quan
-
Biết rằng đồ thị \((H):y=\frac{{{x}^{2}}+2x+m}{x-2}\) có 2 điểm cực trị \(A,B\). Hãy tính k/c từ gốc tọa độ đến đường thẳng \(AB\)?
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?
-
Cho số phức sau \(z=2+i\). Mô đun của số phức \(\text{w}=\overline{z}+3z\) bằng?
-
Cho hệ tọa độ \({O x y z}\), cho tam giác \({A B C}\) có \({A B=2 A C}\) và điểm \(M(2 ; 0 ; 4)\). Biết điểm \(B\) thuộc đường thẳng \(d: \frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1}\), điểm \(C\) thuộc mặt phẳng \((P): 2 x+y-z-2=0\) và \({A M}\) là phân giác trong của tam giác \({A B C}\) kẻ từ \(A(M \in B C)\). Phương trình đường thẳng \({B C}\) là?
-
Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \((S):(x+2)^{2}+y^{2}+(z+5)^{2}=24\) cắt mp \((\alpha): x+y+4=0\) theo giao tuyến là đường tròn \((C)\). Điểm \(M\) thuộc \((C)\) sao cho khoàng cách từ \(M\) đến \(A(4 ;-12 ; 1)\) nhỏ nhất có tung độ bằng?
-
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy là \(B=3\) và chiều cao \(h=4\). Thể tích của khối lăng trụ này bằng?
-
GTLN của hàm số \(y=\frac{{{x}^{2}}-2x+1}{x+2}\) trên đoạn \(\left[ 0\,;\,3 \right]\) bằng?
-
Cho khối cầu có bán kính \(R=6\). Tính thể tích khối cầu bằng?
-
Trong không gian \(Oxyz,\) hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( 3;\,1;\,2 \right)\) lên trục \(Oy\) là điểm nào?
-
TXĐ của hàm số \(y={{\left( 2-x \right)}^{\frac{1}{2}}}\) là?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị là đường cong như hình vẽ:
Số nghiệm của phương trình \(2f\left( x \right)+1=0\) là?
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mp \(\left( ABC \right)\), \(SA=1\) và đáy \(ABC\) là tam giác đều với độ dài cạnh bằng 2. Tính góc giữa mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\)?
-
Tập nghiệm của bất phương trình sau \(\log _{2}^{2}\left( 2x \right)+1\le {{\log }_{2}}\left( {{x}^{5}} \right)\) là?
-
Cho HS \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), có đồ thị \({f}'\left( x \right)\) như hình:
.PNG)
Số điểm cực tiểu của hàm số \(g\left( x \right)=f\left( -{{x}^{2}}+x \right)\) là?
-
Cho HS \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho hàm số sau
\(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & 3{{x}^{2}}\ln \left( x+1 \right)\text{ khi }x\ge 0 \\ & 2x\sqrt{{{x}^{2}}+3}+1\text{ khi }x<0 \\ \end{align} \right.\).
Biết \(\int\limits_{\frac{1}{e}}^{e}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}dx}=a\sqrt{3}+b\ln 2+c\) với \(a,b,c\in \mathbb{Q}\). Giá trị của \(a+b+6c\) bằng?
-
Cho HS \(f\left( x \right)\), \(g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ 0;\,2 \right]\) và \(\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=2\), \(\int\limits_{0}^{2}{g\left( x \right)\text{d}x}=-2\). Tính \(\int\limits_{0}^{2}{\left[ 3f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]\text{d}x}\)?
-
Đường TCĐ của đồ thị hàm số \(y=\frac{x}{x-1}\) là?
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mp \(\left( P \right):\,2x+y-z+3=0\). Điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\)?
-
Cho HS \({y=x^{3}-3 m x^{2}+12 x+3 m-7}\) với \({m}\) là tham số. Số các giá trị nguyên của \({m}\) đề hàm số đã cho đồng biến trên \({\mathbb{R}}\) là?
