Cho hàm số sau
\(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & 3{{x}^{2}}\ln \left( x+1 \right)\text{ khi }x\ge 0 \\ & 2x\sqrt{{{x}^{2}}+3}+1\text{ khi }x<0 \\ \end{align} \right.\).
Biết \(\int\limits_{\frac{1}{e}}^{e}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}dx}=a\sqrt{3}+b\ln 2+c\) với \(a,b,c\in \mathbb{Q}\). Giá trị của \(a+b+6c\) bằng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t=\ln x\), \(dt=\frac{1}{x}dx\) và \(x=\frac{1}{e}\)\(\Rightarrow t=-1\); \(x=e\)\(\Rightarrow t=1\).
\(\int\limits_{\frac{1}{e}}^{e}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}dx}=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{-1}^{0}{\left( 2t\sqrt{{{t}^{2}}+3}+1 \right)dt}+\int\limits_{0}^{1}{3{{t}^{2}}\ln \left( t+1 \right)dt}\).
Tính \(I=\int\limits_{-1}^{0}{\left( 2t\sqrt{{{t}^{2}}+3}+1 \right)dt}=\int\limits_{-1}^{0}{2t\sqrt{{{t}^{2}}+3}dt}+\int\limits_{-1}^{0}{dt}=\int\limits_{-1}^{0}{2t\sqrt{{{t}^{2}}+3}dt}+1\).
Đặt \(u=\sqrt{{{t}^{2}}+3}\)\(\Rightarrow udu=tdt\); \(t=-1\Rightarrow u=2;t=0\Rightarrow u=\sqrt{3}\).
\(I=\int\limits_{2}^{\sqrt{3}}{2{{u}^{2}}du}+1=\left. 2\frac{{{u}^{3}}}{3} \right|_{2}^{\sqrt{3}}+1=2\sqrt{3}-\frac{13}{3}\).
Tính \(J=\int\limits_{0}^{1}{3{{t}^{2}}\ln \left( t+1 \right)dt}\)
\(\left\{ \begin{align} & u=\ln \left( t+1 \right) \\ & dv={{t}^{2}}dt \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & du=\frac{1}{t+1}dt \\ & v=\frac{{{t}^{3}}+1}{3} \\ \end{align} \right.\)
\(J=\left. \left( {{t}^{3}}+1 \right)\ln \left( t+1 \right) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{\left( {{t}^{2}}-t+1 \right)dt}\)\(=\left. \left( {{t}^{3}}+1 \right)\ln \left( t+1 \right) \right|_{0}^{1}-\left. \left( \frac{{{t}^{3}}}{3}-\frac{{{t}^{2}}}{2}+t \right) \right|_{0}^{1}\)\(=2\ln 2-\frac{5}{6}\).
Vậy \(\int\limits_{\frac{1}{e}}^{e}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}dx}\)\(=2\sqrt{3}+2\ln 2-\frac{31}{6}\).
\(\Rightarrow \)\(A+b+6c=2+2-31=-27\).
Chọn C
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Trần Khai Nguyên
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng \(a\sqrt{3}\). Cắt hình trụ bởi 1 mặt phẳng song song với trục, cách trục 1 khoảng bằng a ta được thiết diện là một hình vuông. Thể tích khối trụ đó bằng?
-
Có tất cả bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {{z}^{2}}-2z+7 \right)\left( z-2{{\overline{z}}^{2}} \right)=0\)?
-
Với \(a,b\) là các số thực dương tùy ý, ta có \(\log \left( {{a}^{5}}{{b}^{10}} \right)\) bằng?
-
Biết rằng \({{\log }_{3}}4=a\) và \(T={{\log }_{12}}18\). Phát biểu nào là đúng?
-
Cho 6 HS gồm 2 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang. Tính xác suất để nhóm bất kì 3 học sinh liền kề nhau trong hàng luôn có mặt học sinh của 3 lớp A, B, C?
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mp \(\left( ABC \right)\), \(SA=1\) và đáy \(ABC\) là tam giác đều với độ dài cạnh bằng 2. Tính góc giữa mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\)?
-
TXĐ của hàm số \({y=\sqrt{\log _{\frac{1}{2}}\left(x^{2}+7 x\right)+3}}\) là?
-
Cho các số phức sau \(z=2+i\) và \(\omega =3-2i\). Phần ảo của số phức \(z+2\omega \) bằng?
-
Cho HS \({y=x^{3}-3 m x^{2}+12 x+3 m-7}\) với \({m}\) là tham số. Số các giá trị nguyên của \({m}\) đề hàm số đã cho đồng biến trên \({\mathbb{R}}\) là?
-
Nghiệm của phương trình sau \({{\log }_{2}}\left( x-1 \right)=4\) là?
-
Cho số phức sau \(z=2+i\). Mô đun của số phức \(\text{w}=\overline{z}+3z\) bằng?
-
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy là \(B=3\) và chiều cao \(h=4\). Thể tích của khối lăng trụ này bằng?
-
GTLN của hàm số \(y=\frac{{{x}^{2}}-2x+1}{x+2}\) trên đoạn \(\left[ 0\,;\,3 \right]\) bằng?
-
Trong không gian \(Oxyz,\) hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( 3;\,1;\,2 \right)\) lên trục \(Oy\) là điểm nào?
-
Cho hình tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AD\). Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(AB\) và \(CM\) theo \(a\)?
.PNG)
-
Cho HS \(f\left( x \right)\), \(g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ 0;\,2 \right]\) và \(\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=2\), \(\int\limits_{0}^{2}{g\left( x \right)\text{d}x}=-2\). Tính \(\int\limits_{0}^{2}{\left[ 3f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]\text{d}x}\)?
-
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z+1 \right|\ge 1\). Gọi GTLN và GTNN của biểu thức \(P=\left| \frac{\left( 1+i \right)z+i+2}{z+1} \right|\) lần lượt là \(M\) và \(m\). Khi đó giá trị của \(\left( {{M}^{2}}+{{m}^{2}} \right)\) bằng?
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mp \(\left( P \right):\,2x+y-z+3=0\). Điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\)?
-
Gọi \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị sau \(y={{x}^{2}}-2x\), \(y=0\) trong mặt phẳng \(Oxy\). Quay hình \(\left( H \right)\) quanh trục hoành ta được một khối tròn xoay có thể tích bằng?
-
Cho CSC \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có số hạng đầu \({{u}_{1}}=2\) và số hạng thứ tư \({{u}_{4}}=17\). Công sai của cấp số cộng đã cho bằng?
