Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {3;1; - 3} \right),\,\,B\left( {0; - 2;3} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1\). Xét điểm M thay đổi luôn thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\), giá trị lớn nhất của \(M{A^2} + 2M{B^2}\) bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiMặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;0;3} \right)\), bán kính \(R = 1\).
Gọi \(J\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {JA} + 2\overrightarrow {JB} = \overrightarrow 0 \).
Ta có: \(\overrightarrow {JA} = \left( {3 - a,\,\,1 - b,\,\, - 3 - c} \right);\,\,\overrightarrow {JB} = \left( { - a;\,\, - 2 - b;\,\,3 - c} \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {JA} + 2\overrightarrow {JB} = \left( {3 - 3a;\,\, - 3 - 3b;\,\,3 - 3c} \right) = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 1\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow J\left( {1; - 1;\;1} \right)\)
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}T = M{A^2} + 2M{B^2} = {\left( {\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JB} } \right)^2}\\T = M{J^2} + 2\overrightarrow {MJ} .\overrightarrow {JA} + J{A^2} + 2M{J^2} + 4\overrightarrow {MJ} .\overrightarrow {JB} + 2J{B^2}\\T = 3M{J^2} + 2\overrightarrow {MJ} \underbrace {\left( {\overrightarrow {JA} + 2\overrightarrow {JB} } \right)}_{\overrightarrow 0 } + \underbrace {J{A^2} + 2J{B^2}}_{const}\end{array}\)
.JPG)
Do đó \({T_{\max }} \Leftrightarrow M{J_{\max }}\).
Ta có: \(\overrightarrow {IJ} = \left( {2; - 1; - 2} \right) \Rightarrow IJ = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} = 3 > R = 1 \Rightarrow J\) nằm ở phía ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\). Khi đó
\(M{J_{\max }} = IJ + R = 3 + 1 = 4\)
Vậy \({T_{\max }} = {3.4^2} + \left( {{2^2} + {2^2} + {4^2}} \right) + 2.\left( {{1^2} + {1^2} + {2^2}} \right) = 3.16 + 24 + 2.6 = 84\).
Chọn C.
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có bảng xét dấu như sau:
.JPG)
Hàm số \(y = f\left( {{x^2} + 2x} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Trong không gian \(Oxyz,\) gọi \(d\) là đường thẳng qua \(A\left( {1;\;0;\;2} \right)\) cắt và vuông góc với đường thẳng \({d_1}:\;\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 5}}{{ - 2}}.\) Điểm nào dưới đây thuộc \(d?\)
-
Biết rằng tồn tại duy nhất bộ các số nguyên a, b, c sao cho \(\int\limits_2^3 {\left( {4x + 2} \right)\ln xdx} = a + b\ln 2 + c\ln 3\). Giá trị của \(a + b + c\) bằng:
-
Trong không gian \({\rm{Ox}}yz,\) cho hai điểm \(A\left( {2;3; - 1} \right)\) và \(B\left( {0; - 1;1} \right)\) .Trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) có tọa độ là:
-
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - m{x^2} + 3x - 2\) đồng biến trên R là:
-
Cho hàm số \(y = {x^3} - 2x + 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\) . Hệ số góc \(k\) của tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ bằng 1 bằng
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{x + 3}}{{{x^2} + 3x + 2}}\) là:
-
Nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 2\) là:
-
Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {\left( {1 + i} \right)z - 5 + i} \right| = 2\) là một đường tròn tâm \(I\) và bán kính \(R\) lần lượt là:
-
Xét số phức z thỏa mãn \(\dfrac{{z + 2}}{{z - 2i}}\) là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z luôn thuộc một đường tròn cố đinh. Bán kính của đường tròn đó bằng:
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in R\), \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} f'\left( x \right)\) với mọi \(x \in R\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên
.JPG)
Số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số đã cho là:
-
Với các số thực \(a,\,\,b > 0,\,\,a \ne 1\) tùy ý, biểu thức \({\log _{{a^2}}}\left( {a{b^2}} \right)\) bằng:
-
Diện tích hình phẳng bôi đậm trong hình vẽ dưới đây được xác định theo công thức
.JPG)
-
Cho số thức \(\alpha \) sao cho phương trình \({2^x} - {2^{ - x}} = 2\cos \left( {\alpha x} \right)\) có đúng 2019 nghiệm thực. Số nghiệm của phương trình \({2^x} + {2^{ - x}} = 4 + 2\cos \left( {\alpha x} \right)\) là:
-
Gọi \({x_1},\;{x_2}\) là hai điểm cực trị của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - 3{x^2} - 2x.\) Giá trị của \(x_1^2 + x_2^2\) bằng:
-
Tìm \(m\) để đường thẳng \(y = 2x + m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 3}}{{x + 1}}\) tại hai điểm \(M,\;N\) sao cho độ dài \(MN\) nhỏ nhất:
-
Cho hình chóp tứ giác đều \(SABCD\) có cạnh đáy bằng \(2a\) và chiều cao bằng \(\sqrt 3 a.\) Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) bằng:
-
Cho hình trụ \(\left( T \right)\) có chiều cao bằng 2a. Hai đường tròn đáy của \(\left( T \right)\) có tâm lần lượt là O và \({O_1}\) và bán kính bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm \({O_1}\) lấy điểm B sao cho \(AB = \sqrt 5 a\). Thể tích khối tứ diện \(O{O_1}AB\) bằng:
-
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {2 + 3i} \right)z + 4 - 3i = 13 + 4i.\) Mô đun của \(z\) bằng
