Trong không gian $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:\,\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}$ và hai điểm $A\left( { - 1;3;1} \right),\,B\left( {0;2; - 1} \right).$ Gọi  $C\left( {m;n;p} \right)$ là điểm thuộc $d$ sao cho diện tích của tam giác $ABC$ bằng $2\sqrt 2 .$ Giá trị của tổng $m + n + p$ bằng 

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên. Có bao nhiêu số nguyên $m$ để phương trình $\frac{1}{3}f\left( {\frac{x}{2} + 1} \right) + x = m$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ { - 2;\,2} \right]?$

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right) = {x^2}\left( {{x^2} - 1} \right),\,\forall \,x \in \mathbb{R}.$ Hàm số $y = 2f\left( { - x} \right)$ đồng biến trên khoảng 

Cho hình trụ tròn xoay có độ dài đường sinh bằng đường kính đáy và thể tích của khối trụ bằng $16\pi$ . Diện tích toàn phần của khối trụ đã cho bằng 

Biết rằng $\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{3x + 5\sqrt {3x + 1}  + 7}} = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5}$ với $a,b,c$ là các số hữu tỉ.  Giá trị của $a + b + c$ bằng 

Cho hàm số $f\left( x \right)$ dương thỏa mãn $f\left( 0 \right) = e$ và ${x^2}f'\left( x \right) = f\left( x \right) + f'\left( x \right),\,\forall x \ne  \pm 1$. Giá trị $f\left( {\dfrac{1}{2}} \right)$ là: 

Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây ?

Gọi ${x_1},\,{x_2}$ là các nghiệm phức của phương trình ${z^2} + 4z + 7 = 0$ . Số phức ${z_1}\overline {{z_2}}  + \overline {{z_1}} {z_2}$ bằng 

Giả sử $a,\,b$ là các số thực dương bất kỳ. Biểu thức $\ln \frac{a}{{{b^2}}}$ bằng

Trong không gian $Oxyz,$ cho $\overrightarrow a  = \left( {1; - 1;0} \right)$ và hai điểm $A\left( { - 4;\,7;\,3} \right),\,B\left( {4;\,4;\,5} \right).$ Giả sử $M,\,N$ là hai điểm thay đổi trong mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ sao cho $\overrightarrow {MN}$ cùng hướng với $\overrightarrow a$ và $MN = 5\sqrt 2 .$ Giá trị lớn nhất của$\left| {AM - BN} \right|$  bằng: 

Cho khối lăng trụ tứ giác đều $ABCD.A'B'C'D'$ có khoảng cách giữa AB và A’D bằng 2, đường chéo của mặt bên bằng 5. Biết $A'A > AD$. Thể tích lăng trụ là

Cho hình nón tròn xoay có bán kính đáy bằng $3$ và diện tích xung quanh bằng $6\sqrt 3 \pi$ . Góc ở đỉnh của hình nón đã cho bằng 

Một vật rơi tự do theo phương trình $s = \frac{1}{2}g{t^2},$ trong đó $g \approx 9,8m/{s^2}$ là gia tốc trọng trường. Giá trị gần đúng của vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t = 4s$ là

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đó?

Cho $k,\,n\,\left( {k < n} \right)$ là các số nguyên dương bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng? 

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu số nguyên $m$ để phương trình $f\left( {{x^3} - 3x} \right) = m$ có $6$ nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ { - 1;2} \right]?$

Phương trình $\log \,\left( {x + 1} \right) = 2$ có nghiệm là 

Cho hàm số $y = \dfrac{{2x - 1}}{{2x - 2}}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ (với ${x_0} > 1$) là điểm thuộc $\left( C \right)$, biết tiếp tuyến của  $\left( C \right)$ tại M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B sao cho ${S_{\Delta OIB}} = 8{S_{\Delta OIA}}$ (trong đó O là gốc tọa độ, I là giao điểm hai tiệm cận). Giá trị của $S = {x_0} + 4{y_0}$ bằng

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = a,AD = AA' = 2a$ . Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đã cho bằng  

Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ được cho như hình vẽ bên. Hàm số$y = \left| {f\left( x \right) + \frac{1}{2}{x^2} - f\left( 0 \right)} \right|$ có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị trong khoảng $\left( { - 2;3} \right)$

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Hàm số $y = f\left( {2x} \right)$ đạt cực đại tại