Trong không gian \(Oxyz\) , mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {3; - 1;4} \right)\) đồng thời vuông góc với giá của vectơ \(\overrightarrow a \left( {1; - 1;2} \right)\) có phương trình là 

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(\overrightarrow a \left( { - 3;4;\,0} \right)\) và \(\overrightarrow b \,\left( {5;\,0;\,12} \right)\). Côsin của góc giữa \(\overrightarrow {a\,} \) và \(\overrightarrow b \) bằng 

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ { - 3;3} \right]\) và có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên. Mệnh đề nào sau đây sai về hàm số đó?

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( x \right) + f'\left( x \right) = {e^{ - x}},\,\forall \,x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right) = 2.\) Tất cả các nguyên hàm của \(f\left( x \right){e^{2x}}\) là 

Gọi \({x_1},\,{x_2}\) là các nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 4z + 7 = 0\) . Số phức \({z_1}\overline {{z_2}}  + \overline {{z_1}} {z_2}\) bằng 

Cho \(k,\,n\,\left( {k < n} \right)\) là các số nguyên dương bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng? 

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) được cho như hình vẽ bên. Hàm số\(y = \left| {f\left( x \right) + \frac{1}{2}{x^2} - f\left( 0 \right)} \right|\) có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị trong khoảng \(\left( { - 2;3} \right)\)

Biết rằng \(\alpha ;\beta \) là các số thực thỏa mãn \({2^\beta }\left( {{2^\alpha } + {2^\beta }} \right) = 8\left( {{2^{ - \alpha }} + {2^{ - \beta }}} \right).\) Giá trị của \(\alpha  + 2\beta \) bằng 

Trong không gian \(Oxyz,\) cho \(E\left( { - 1;0;2} \right)\) và \(F\left( {2;1; - 5} \right)\). Phương trình đường thẳng \({\rm{EF}}\) là 

Biết rằng \(\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{3x + 5\sqrt {3x + 1}  + 7}} = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5} \) với \(a,b,c\) là các số hữu tỉ.  Giá trị của \(a + b + c\) bằng 

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để phương trình \(f\left( {{x^3} - 3x} \right) = m\) có \(6\) nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]?\)

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) . Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\). Cho biết \(AB = 2a,\,BC = \sqrt {13} ,\,CC' = 4a.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(A'B\) và \(CE\) bằng 

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a,AD = AA' = 2a\) . Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đã cho bằng  

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đó?

Cho \(f\left( x \right)\) mà hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình bên. Tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \(m + {x^2} < f\left( x \right) + \frac{1}{3}{x^3}\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( {0;3} \right)\) là

Trong không gian \(Oxyz,\) cho \(\overrightarrow a  = \left( {1; - 1;0} \right)\) và hai điểm \(A\left( { - 4;\,7;\,3} \right),\,B\left( {4;\,4;\,5} \right).\) Giả sử \(M,\,N\) là hai điểm thay đổi trong mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho \(\overrightarrow {MN} \) cùng hướng với \(\overrightarrow a \) và \(MN = 5\sqrt 2 .\) Giá trị lớn nhất của\(\left| {AM - BN} \right|\)  bằng: 

Giải bóng truyền quốc tế VTV Cup có \(8\) đội tham gia, trong đó có hai đội Việt Nam. Ban tổ chức bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành hai bảng đấu, mỗi bảng 4 đội. Xác suất để hai đội của Việt Nam nằm trong hai bảng khác nhau bằng 

Phương trình \(\log \,\left( {x + 1} \right) = 2\) có nghiệm là 

Cho các số phức \(z =  - 1 + 2i,{\rm{w}} = 2 - i.\) Điểm nào trong hình bên biểu diễn số phức \(z + {\rm{w}}?\)

Cho \(f(x) = {x^4} - 5{x^2} + 4\) . Gọi \(S\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và trục hoành. Mệnh đề nào sau đây sai? 

Cho khối lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có chiều cao là a và \(AB' \bot BC'\). Thể tích lăng trụ là