Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có $SA = \sqrt {11} a,$ côsin của góc hợp bởi hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ bằng $\frac{1}{{10}}$ . Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng

3 a^{3}

$3{a^3}$

9 a^{3}

$9{a^3}$

4 a^{3}

$4{a^3}$

12 a^{3}

$12{a^3}$

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

Gọi $x$ là độ dài cạnh đáy của chóp đều $S.ABCD$ .

Gọi $O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)$ .

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\,\,\left( {gt} \right)\\BD \bot SO\,\,\left( {SO \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SC$ .

Trong $\left( {SBC} \right)$ kẻ $BH \bot SC\,\,\left( {H \in SC} \right)$ ta có

$\left\{ \begin{array}{l}BH \bot SC\\BD \bot SC\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot \left( {BDH} \right) \Rightarrow SC \bot DH$ .

Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SC\\\left( {SBC} \right) \supset BH \bot SC\\\left( {SCD} \right) \supset DH \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {SCD} \right)} \right) = \angle \left( {BH;DH} \right) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \angle BHD = \frac{1}{{10}}\\\cos \angle BHD = - \frac{1}{{10}}\end{array} \right.$ .

Dễ dàng chứng minh được $\Delta BHC = \Delta DHC \Rightarrow HB = HD \Rightarrow \Delta HBD$ cân tại $H$ .

Xét tam giác $SBC$ ta có : $\cos \angle C = \frac{{B{C^2} + S{C^2} - S{B^2}}}{{2BC.SC}} = \frac{{{x^2}}}{{2x.\sqrt {11} a}} = \frac{{x\sqrt {11} }}{{22a}}$

$\Rightarrow HC = BC.\cos \angle C = \frac{{{x^2}\sqrt {11} }}{{22a}}$ .

$\Rightarrow HB = \sqrt {B{C^2} - H{C^2}} = \sqrt {{x^2} - \frac{{{x^4}}}{{44{a^2}}}} = \frac{{x\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}{{2a\sqrt {11} }} = HD$

Xét tam giác $BDH$ có :

$\cos \angle BHD = \frac{{H{B^2} + H{D^2} - B{D^2}}}{{2HB.HD}} = \frac{{2{x^2} - \frac{{{x^4}}}{{22{a^2}}} - 2{x^2}}}{{2\left( {{x^2} - \frac{{{x^4}}}{{44{a^2}}}} \right)}} = \frac{{2{x^2} - \frac{{{x^4}}}{{22{a^2}}} - 2{x^2}}}{{2{x^2} - \frac{{{x^4}}}{{22{a^2}}}}} = 1 - \frac{{44{x^2}{a^2}}}{{44{x^2}{a^2} - {x^4}}}$

TH1: $\cos \angle BHD = \frac{1}{{10}} \Leftrightarrow 1 - \frac{{44{x^2}{a^2}}}{{44{x^2}{a^2} - {x^4}}} = \frac{1}{{10}} \Leftrightarrow \frac{{44{x^2}{a^2}}}{{44{x^2}{a^2} - {x^4}}} = \frac{9}{{10}}$

$\Leftrightarrow 440{x^2}{a^2} = 396{x^2}{a^2} - 9{x^4} \Leftrightarrow 9{x^4} = - 44{x^2}{a^2}$ (vô nghiệm)

TH2: $\cos \angle BHD = - \frac{1}{{10}} \Leftrightarrow 1 - \frac{{44{x^2}{a^2}}}{{44{x^2}{a^2} - {x^4}}} = - \frac{1}{{10}} \Leftrightarrow \frac{{44{x^2}{a^2}}}{{44{x^2}{a^2} - {x^4}}} = \frac{{11}}{{10}}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 440{x^2}{a^2} = 484{x^2}{a^2} - 11{x^4} \Leftrightarrow 11{x^4} = 44{x^2}{a^2} \Leftrightarrow {x^2} = 4{a^2} \Leftrightarrow x = 2a\\ \Rightarrow OA = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}.2a\sqrt 2 = a\sqrt 2 \end{array}$ .