Biết rằng $\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{3x + 5\sqrt {3x + 1}  + 7}} = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5}$ với $a,b,c$ là các số hữu tỉ.  Giá trị của $a + b + c$ bằng 

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có $AB = a$ , góc giữa đường thẳng $A'C$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng ${45^0}$ . Thể tích của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng 

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đó?

Trong không gian $Oxyz,$ cho ba đường thẳng $d:\,\,\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}};\,\,{\Delta _1}:\,\frac{{x - 3}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{1};\,$ ${\Delta _2}:\,\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{1}.$ Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $d$ đồng thời cắt ${\Delta _1},\,{\Delta _2}$ tương ứng tại$H,\,K$ sao cho độ dài $HK$ nhỏ nhất. Biết rằng $\Delta$ có một vecto chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {h;\,k;\,1} \right).$ Giá trị của $h - k$ bằng:

Trong không gian $Oxyz,$ cho $\overrightarrow a  = \left( {1; - 1;0} \right)$ và hai điểm $A\left( { - 4;\,7;\,3} \right),\,B\left( {4;\,4;\,5} \right).$ Giả sử $M,\,N$ là hai điểm thay đổi trong mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ sao cho $\overrightarrow {MN}$ cùng hướng với $\overrightarrow a$ và $MN = 5\sqrt 2 .$ Giá trị lớn nhất của$\left| {AM - BN} \right|$  bằng: 

Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây ?

Trong không gian $Oxyz$ , mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( {3; - 1;4} \right)$ đồng thời vuông góc với giá của vectơ $\overrightarrow a \left( {1; - 1;2} \right)$ có phương trình là 

Đạo hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{3^x} - 1}}{{{3^x} + 1}}.$ là:

Giải bóng truyền quốc tế VTV Cup có $8$ đội tham gia, trong đó có hai đội Việt Nam. Ban tổ chức bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành hai bảng đấu, mỗi bảng 4 đội. Xác suất để hai đội của Việt Nam nằm trong hai bảng khác nhau bằng 

Cho hàm số $y = \dfrac{{2x - 1}}{{2x - 2}}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ (với ${x_0} > 1$) là điểm thuộc $\left( C \right)$, biết tiếp tuyến của  $\left( C \right)$ tại M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B sao cho ${S_{\Delta OIB}} = 8{S_{\Delta OIA}}$ (trong đó O là gốc tọa độ, I là giao điểm hai tiệm cận). Giá trị của $S = {x_0} + 4{y_0}$ bằng

Gọi ${x_1},\,{x_2}$ là các nghiệm phức của phương trình ${z^2} + 4z + 7 = 0$ . Số phức ${z_1}\overline {{z_2}}  + \overline {{z_1}} {z_2}$ bằng 

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu số nguyên $m$ để phương trình $f\left( {{x^3} - 3x} \right) = m$ có $6$ nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ { - 1;2} \right]?$

Trong không gian $Oxyz$ cho các điểm $M\left( {2;1;4} \right),\,N\left( {5;0;0} \right),\,P\left( {1; - 3;1} \right).$ Gọi $I\left( {a;b;c} \right)$ là tâm của mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ đồng thời đi qua các điểm $M,N,P.$ Tìm $c$ biết rằng $a + b + c < 5.$ 

Cho số phức z thỏa mãn ${\left( {1 - \sqrt 3 i} \right)^2}z = 3 - 4i.$ Môđun của z bằng: 

Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $f\left( x \right) + f'\left( x \right) = {e^{ - x}},\,\forall \,x \in \mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right) = 2.$ Tất cả các nguyên hàm của $f\left( x \right){e^{2x}}$ là 

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ { - 3;3} \right]$ và có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên. Mệnh đề nào sau đây sai về hàm số đó?

Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn ${\left| {z - 1} \right|^2} + \left| {z - \overline z } \right|i + \left( {z + \overline z } \right){i^{2019}} = 1\,\,?$ 

Cho hình trụ tròn xoay có độ dài đường sinh bằng đường kính đáy và thể tích của khối trụ bằng $16\pi$ . Diện tích toàn phần của khối trụ đã cho bằng 

Tất cả các nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {3^{ - x}}$ là: 

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ . Gọi $E$ là trung điểm của $AB$. Cho biết $AB = 2a,\,BC = \sqrt {13} ,\,CC' = 4a.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'B$ và $CE$ bằng 

Phương trình $\log \,\left( {x + 1} \right) = 2$ có nghiệm là