Tìm \(m\) để phương trình \({{x}^{6}}+6{{x}^{4}}-{{m}^{2}}{{x}^{3}}+\left( 15-3{{m}^{2}} \right){{x}^{2}}-6mx+10=0\) có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ \frac{1}{2};2 \right]?\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiPhương trình đã cho tương đương với
\(\left( {{x}^{6}}+6{{x}^{4}}+12{{x}^{2}}+8 \right)-\left( {{m}^{3}}{{x}^{3}}+2{{m}^{2}}{{x}^{2}}+3mx+1 \right)+\left( 3{{x}^{2}}-3mx+3 \right)=0\)
\(\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}+2 \right)}^{3}}-{{\left( mx+1 \right)}^{3}}+3\left( {{x}^{2}}-mx+1 \right)=0\)
\(\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-mx+1 \right)\left[ {{\left( {{x}^{2}}+2 \right)}^{2}}+\left( {{x}^{2}}+2 \right)\left( mx+1 \right)+{{\left( mx+1 \right)}^{2}}+3 \right]=0\)
\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}-mx+1=0\) (Vì \({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}={{\left( a+\frac{1}{2}b \right)}^{2}}+\frac{3}{4}{{b}^{2}}\ge 0,\forall a,b).\)
\(\Leftrightarrow x+\frac{1}{x}=m\) (Do \(x=0\) không thỏa mãn phương trình này).
Xét hàm số \(f\left( x \right)=x+\frac{1}{x}\) trên đoạn \(\left[ \frac{1}{2};2 \right].\) Ta có:
\(f'\left( x \right)=1-\frac{1}{{{x}^{2}}}\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1 \notin \left( {\frac{1}{2};2} \right)\\ x = 1 \in \left( {\frac{1}{2};2} \right) \end{array} \right.\)
Ta có bảng biến thiên
.png)
Từ bảng biến thiên trên suy ra để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thỏa mãn \(\left[ \frac{1}{2};2 \right]\) thì \(2<m\le \frac{5}{2}.\)
Vậy tất cả các giá trị cần tìm của \(m\) là \(2<m\le \frac{5}{2}.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Phan Đình Phùng lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Nếu tứ diện có chiều cao giảm 3 lần và cạnh đáy tăng 3 lần thì thể tích của nó
-
Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(B,SA\) vuông góc với đáy và \(SA=AB=6A. \) Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).
-
Tìm điều kiện của tham số \(b\) để hàm số \(y={{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\) có 3 điểm cực trị?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
.png)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên dưới.
.png)
Hàm số \(y=f\left( 1-2x \right)\) đồng biến trên khoảng
-
Số giao điểm của hai đồ thị \(y=f\left( x \right)\) và \(y=g\left( x \right)\) bằng số nghiệm phân biệt của phương trình nào sau đây?
-
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp một tứ diện đều cạnh \(a\) là
-
Số điểm chung giữa mặt cầu và mặt phẳng không thể là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+nx-1\) với \(m,n\) là các tham số thực thỏa mãn \(m+n>0\) và \(7+2\left( 2m+n \right)<0.\) Tìm số điểm cực trị của hàm số \(y=\left| f\left( \left| x \right| \right) \right|.\)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)=\frac{2x+1}{x-3}.\) Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây?
-
Đồ thị của hai hàm số \(y=4{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1\) và \(y={{x}^{2}}+x+1\) có tất cả bao nhiêu điểm chung?
-
Thể tích khối lập phương có cạnh bằng \(3a\) là
-
Với giá trị nào của \(m\) thì đồ thị hàm số \(y=\frac{2{{x}^{2}}+6mx+4}{mx+2}\) đi qua điểm \(A\left( -1;4 \right)?\)
-
Trung điểm các cạnh của hình tứ diện đều tạo thành
-
Có bao nhiêu điểm \(M\) thuộc đồ thị hàm số \(y=\frac{x+2}{x-1}\) sao cho khoảng cách từ \(M\) đến trục tung bằng hai lần khoảng cách từ \(M\) đến trục hoành?
-
Tìm tất cả các giá trị tực của tham số \(m\) để hàm số \(y=\frac{x-m}{x+1}\) đồng biến trên từng khoảng xác định.
-
Thể tích khối lăng trụ tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng \(a\) là
-
Công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy \(B\) và chiều cao \(h\) là
-
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\frac{x}{{{x}^{2}}-1}\) là:
-
Bảng biến thiên ở hình dưới là của hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây.
.png)
