Tìm \(m\) để phương trình \({{x}^{6}}+6{{x}^{4}}-{{m}^{2}}{{x}^{3}}+\left( 15-3{{m}^{2}} \right){{x}^{2}}-6mx+10=0\) có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ \frac{1}{2};2 \right]?\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiPhương trình đã cho tương đương với
\(\left( {{x}^{6}}+6{{x}^{4}}+12{{x}^{2}}+8 \right)-\left( {{m}^{3}}{{x}^{3}}+2{{m}^{2}}{{x}^{2}}+3mx+1 \right)+\left( 3{{x}^{2}}-3mx+3 \right)=0\)
\(\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}+2 \right)}^{3}}-{{\left( mx+1 \right)}^{3}}+3\left( {{x}^{2}}-mx+1 \right)=0\)
\(\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-mx+1 \right)\left[ {{\left( {{x}^{2}}+2 \right)}^{2}}+\left( {{x}^{2}}+2 \right)\left( mx+1 \right)+{{\left( mx+1 \right)}^{2}}+3 \right]=0\)
\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}-mx+1=0\) (Vì \({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}={{\left( a+\frac{1}{2}b \right)}^{2}}+\frac{3}{4}{{b}^{2}}\ge 0,\forall a,b).\)
\(\Leftrightarrow x+\frac{1}{x}=m\) (Do \(x=0\) không thỏa mãn phương trình này).
Xét hàm số \(f\left( x \right)=x+\frac{1}{x}\) trên đoạn \(\left[ \frac{1}{2};2 \right].\) Ta có:
\(f'\left( x \right)=1-\frac{1}{{{x}^{2}}}\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1 \notin \left( {\frac{1}{2};2} \right)\\ x = 1 \in \left( {\frac{1}{2};2} \right) \end{array} \right.\)
Ta có bảng biến thiên
.png)
Từ bảng biến thiên trên suy ra để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thỏa mãn \(\left[ \frac{1}{2};2 \right]\) thì \(2<m\le \frac{5}{2}.\)
Vậy tất cả các giá trị cần tìm của \(m\) là \(2<m\le \frac{5}{2}.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Phan Đình Phùng lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Cho mặt cầu \(S\left( I;R \right)\) và điểm \(A\) nằm ngoài mặt cầu. Qua \(A\) kẻ đường thẳng cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm phân biệt \(B,C. \) Tích \(AB.AC\) bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)=\frac{2x+1}{x-3}.\) Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây?
-
Cho hai số thực \(a,b\) thỏa mãn \(1>a\ge b>0.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau \(T=\log _{a}^{2}b+{{\log }_{ab}}{{a}^{36}}\)
-
Giả sử các biểu thức chứa logarit đều có nghĩa. Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ:
.jpg.png)
Mệnh đề nào sau đây sai?
-
Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?
.jpg.png)
-
Cho đồ thị \(\left( {{C}_{m}} \right):y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+\left( 1-m \right)x+m.\) Khi \(m={{m}_{0}}\) thì \(\left( {{C}_{m}} \right)\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\) thỏa mãn \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=4.\) Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Công thức tính thể tích khối cầu bán kính \(R\) là:
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên dưới.
.png)
Hàm số \(y=f\left( 1-2x \right)\) đồng biến trên khoảng
-
Cho số thực \(a>0\) và \(a\ne 1.\) Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
-
Thể tích khối lập phương có cạnh bằng \(3a\) là
-
Số giao điểm của hai đồ thị \(y=f\left( x \right)\) và \(y=g\left( x \right)\) bằng số nghiệm phân biệt của phương trình nào sau đây?
-
Cho \(a\) là số thực dương và \(m,n\) là các số thực tùy ý. Trong các tính chất sau, tính chất nào đúng?
-
Thể tích khối lăng trụ tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng \(a\) là
-
Đồ thị của hai hàm số \(y=4{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1\) và \(y={{x}^{2}}+x+1\) có tất cả bao nhiêu điểm chung?
-
Đồ thị hàm số nào sau đây luôn nằm dưới trục hoành?
-
Tìm điều kiện của tham số \(b\) để hàm số \(y={{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\) có 3 điểm cực trị?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng xét dấu \(f'\left( x \right)\)
.png)
Số điểm cực tiểu của hàm số \(y=f\left( x \right)\) là:
-
Gọi \(A\) là điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-1\) thì \(A\) có tọa độ là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
.png)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
