Một cái phễu gồm một phần có dạng hình trụ, bán kính đáy bằng \(R\) và phần còn lại có dạng hình nón, chiều cao bằng \(2R.\) Phễu chứa nước có mực nước đến sát đáy hình nón. Người ta thả vào một một vật hình cầu bằng kim loại vào thì nó đặt vừa khít trong hình nón (hình bên). Chiều cao cột nước dâng lên theo bằng

Hàm số nào sau đây có tập xác định là \(\mathbb{R}\)?

Hàm số \(y = {x^4} - {x^3} - x + 2019\)  có bao nhiêu điểm cực trị? 

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác cân tại \(A\), \(AB = AC = a\), \(\widehat {BAC} = 120^\circ \). Tam giác \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABC\). 

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( {\left| x \right|} \right)} \right|\) có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hình chóp \(S.ABC\)có đáy là \(\Delta ABC\) vuông cân ở \(B,\,\)\(AC = a\sqrt 2 ,\,\)\(SA \bot \left( {ABC} \right),\) \(SA = a.\) Gọi \(G\) là trọng tâm của \(\Delta SBC\), \(mp\left( \alpha  \right)\) đi qua \(AG\) và song song với \(BC\) chia khối chóp thành hai phần. Gọi \(V\)là thể tích của khối đa diện không chứa đỉnh \(S\). Tính \(V.\) 

Xét các khẳng định saui) Nếu \(a > 2019\) thì \({a^x} > {2019^x}_{}^{}\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)ii) Nếu \(a > 2019\) thì \({b^a} > {b^{2019}}_{}^{}\,\,\,\forall b>0\)iii) Nếu \(a > 2019\) thì \({\log _b}a > {\log _b}2019_{}^{}\,\,\,\forall b > 0,b \ne 1\)Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên là: 

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho \(A\left( { - 1;0;0} \right)\), \(B\left( {0;0;2} \right)\), \(C\left( {0; - 3;0} \right)\). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\) là 

Hàm số nào trong các hàm số sau đây có đồ thị phù hợp với hình bên?

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3x - 2_{}^{}\,\,\,khi\,\,\,_{}^{}x \ge 1\\m{x^2} - mx + 1_{}^{}\,\,\,\,khi\,\,\,x < 1\end{array} \right.\) với \(m\) là tham số thực. Tập hợp các giá trị \(m\) để hàm số liên tục tại \(x=1\) là 

Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng \(V\). Tính thể tích khối đa diện \(ABCB'C'\). 

Trong không gian \(Oxyz\), lấy điểm \(C\)trên tia \(Oz\) sao cho \(OC = 1\). Trên hai tia \(Ox,Oy\) lần lượt  lấy hai điểm \(A,B\) thay đổi sao cho \(OA + OB = OC\). Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(O.ABC\)? 

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm \(O\) và \(O'\), bán kính đáy bằng chiều cao và bằng \(2a\). Trên đường tròn đáy có tâm \(O\) lấy điểm \(A\), trên đường tròn tâm \(O'\) lấy điểm \(B\). Đặt \(\alpha \) là góc giữa \(AB\) và đáy. Tính \(\tan \alpha \)  khi thể tích khối tứ diện \(OO'AB\) đạt giá trị lớn nhất. 

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Số các số nguyên \(m\) để hàm số \(y = 3\sin x + 4\cos x - \left( {\left| m \right| - 6} \right)x\) đồng biến trên tập số thực là: 

Cho tập hợp \(A=\left\{ {0;\,1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6} \right\}.\) Số các số có 5 chữ số \(\overline {abcde} \) thỏa mãn điều kiện a, b, c, d, e thuộc A và \(a < b < c < d < e\) là

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;-2;-2} \right),B\left( {2;2; 1} \right).\) Tập hợp các điểm M thỏa mãn \(\left( {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {OA} } \right) = \left( {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {OB} } \right)\)  là một mặt phẳng có phương trình 

Cho tứ diện ABCD có \(AB=AC=AD= a,\) \(\widehat {BAC} = {60^0},\) \(\widehat {CAD} = {60^0},\) \(\widehat {DAB} = {90^0}.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\)  là:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) trên đoạn \(\left[ { - 2018;2018} \right]\) để hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} - 2x - m + 1} \right)\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\). 

Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ - {x^2}}} > \frac{{81}}{{16}}\) là