Cho tứ diện ABCD có $AB=AC=AD= a,$ $\widehat {BAC} = {60^0},$ $\widehat {CAD} = {60^0},$ $\widehat {DAB} = {90^0}.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $BD$  là:

Cho tập hợp $A=\left\{ {0;\,1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6} \right\}.$ Số các số có 5 chữ số $\overline {abcde}$ thỏa mãn điều kiện a, b, c, d, e thuộc A và $a < b < c < d < e$ là

Một người gửi tiết kiệm số tiền $80.000.000$ đồng với lãi suất là $6,9$%/ năm. Biết rằng tiền lãi hàng năm được nhập vào tiền gốc, hỏi sau đúng $5$ năm người đó có rút được cả gốc và lãi số tiền gần với con số nào nhất sau đây? 

Hàm số nào sau đây có tập xác định là $\mathbb{R}$?

Tìm tập nghiệm của phương trình ${3^{{x^2} + 2x}} = 1$.

Gọi $n$ là số nguyên dương sao cho $\dfrac{1}{{{{\log }_3}x}} + \dfrac{1}{{{{\log }_{{3^2}}}x}} + \dfrac{1}{{{{\log }_{{3^3}}}x}} + ... + \dfrac{1}{{{{\log }_{{3^n}}}x}}$ $= \dfrac{{190}}{{{{\log }_3}x}}$ đúng với mọi $x$ dương, $x \ne 1$. Tìm giá trị của biểu thức $P = 2n + 3$.

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho $A\left( {2;0;1} \right),B\left( {0;5; - 1} \right).$Tích vô hướng của hai véc tơ $\overrightarrow {OA}$ và $\overrightarrow {OB}$  bằng 

Một cái phễu gồm một phần có dạng hình trụ, bán kính đáy bằng $R$ và phần còn lại có dạng hình nón, chiều cao bằng $2R.$ Phễu chứa nước có mực nước đến sát đáy hình nón. Người ta thả vào một một vật hình cầu bằng kim loại vào thì nó đặt vừa khít trong hình nón (hình bên). Chiều cao cột nước dâng lên theo bằng

Giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \dfrac{{1 + 2 + 3 + ... + \left( {n - 1} \right) + n}}{{{n^2}}}$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, lấy điểm $C$trên tia $Oz$ sao cho $OC = 1$. Trên hai tia $Ox,Oy$ lần lượt  lấy hai điểm $A,B$ thay đổi sao cho $OA + OB = OC$. Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $O.ABC$? 

Cho hình trụ có thiết diện đi qua trục là một hình vuông có cạnh bằng $4a$. Diện tích xung quanh của hình trụ là 

Gọi ${x_0}$ là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $3si{n^2}x + 2\sin x\cos x - co{s^2}x = 0$. Chọn khẳng định đúng? 

Cho hình chóp $S.ABC$ có các cạnh $SA = BC = 3$; $SB = AC = 4$; $SC = AB = 2\sqrt 5$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $R$, có bảng biến thiên như sau: 

Mệnh đề nào sau đây là đúng ?

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại$A$,$AB = 1{\rm{cm}}$,$AC = \sqrt 3 {\rm{cm}}$. Tam giác $SAB$, $SAC$ lần lượt vuông tại $B$ và $C$. Khối cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ có thể tích bằng$\frac{{5\sqrt 5 \pi }}{6}{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$. Tính khoảng cách từ $C$ tới $\left( {SAB} \right)$ 

Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm $O$ và $O'$, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng $2a$. Trên đường tròn đáy có tâm $O$ lấy điểm $A$, trên đường tròn tâm $O'$ lấy điểm $B$. Đặt $\alpha$ là góc giữa $AB$ và đáy. Tính $\tan \alpha$  khi thể tích khối tứ diện $OO'AB$ đạt giá trị lớn nhất. 

Tìm $a$ để hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}}&{{\rm{khi}}}&{x \ne 1}\\a&{{\rm{khi}}}&{x = 1}\end{array}} \right.$ liên tục tại điểm ${x_0} = 1$. 

Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oyz) và đi qua điểm $K\left( {4; - 5;7} \right)$ có phương trình là 

Cho hàm số $y = {a^x}$ có đồ thị như hình bên. Giá trị của a là:

Tìm nguyên hàm của hàm số $y = {x^2} - 3x + \frac{1}{x}$. 

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm  $A\left( {3;4;0} \right),B\left( {3;0; - 4} \right),C\left( {0; - 3; - 4} \right).$ Trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đi qua điểm nào trong các điểm sau đây?