Cho hình chóp \(S.ABC\) có các cạnh \(SA = BC = 3\); \(SB = AC = 4\); \(SC = AB = 2\sqrt 5 \). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).

A. \(\frac{{\sqrt {390} }}{{12}}\).

B. \(\frac{{\sqrt {390} }}{6}\).

C. \(\frac{{\sqrt {390} }}{8}\).

D. \(\frac{{\sqrt {390} }}{4}\).

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

Đặt \(SA = BC = a,\,\,SB = AC = b,\,\,SC = AB = c\).

Dựng hình chóp \(S.A'B'C'\) sao cho \(A,\,\,B,\,\,C\) lần lượt là trung điểm của \(B'C',\,\,C'A',\,\,A'B'\).

Dễ thấy \(\Delta ABC\) đồng dạng với \(\Delta A'B'C'\) theo tỉ số \(\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta A'B'C'}}}} = \frac{1}{4} \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{4}{V_{S.A'B'C'}}\).

Ta có \(AB,\,\,BC,\,\,CA\) là các đường trung bình của tam giác \(A'B'C'\)

\( \Rightarrow A'B' = 2AB = 2c;\,\,B'C' = 2BC = 2a,\,\,A'C' = 2AC = 2b\).

\( \Rightarrow \Delta SA'B',\,\,\Delta SB'C',\,\,\Delta SC'A'\) là các tam giác vuông tại \(S\) (Tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy)

\( \Rightarrow SA',\,\,SB',\,\,SC'\) đôi một vuông góc

\({V_{S.A'B'C'}} = \frac{1}{6}SA'.SB'.SC' \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{{24}}SA'.SB'.SC'\).

Áp dụng định lí Pytago ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}SA{'^2} + SB{'^2} = 4{c^2}\\SB{'^2} + SC{'^2} = 4{a^2}\\SA{'^2} + SC{'^2} = 4{b^2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA{'^2} = 2\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\\SB{'^2} = 2\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)\\SC{'^2} = 2\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{{24}}.\sqrt {8\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{{6\sqrt 2 }}\sqrt {\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)} \end{array}\)

Thay \(a = 3,\,\,b = 4,\,\,c = 2\sqrt 5 \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{{\sqrt {390} }}{4}\).

Chọn D.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài