Cho hình chóp \(S.ABC\)có đáy là \(\Delta ABC\) vuông cân ở \(B,\,\)\(AC = a\sqrt 2 ,\,\)\(SA \bot \left( {ABC} \right),\) \(SA = a.\) Gọi \(G\) là trọng tâm của \(\Delta SBC\), \(mp\left( \alpha \right)\) đi qua \(AG\) và song song với \(BC\) chia khối chóp thành hai phần. Gọi \(V\)là thể tích của khối đa diện không chứa đỉnh \(S\). Tính \(V.\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.JPG)
Trong \(\left( {SBC} \right)\) qua \(G\) kẻ \(MN//BC\,\,\left( {M \in SB,\,\,N \in SC} \right)\). Khi đó mặt phẳng đi qua \(AG\) và song song với \(BC\) chính là mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\). Mặt phẳng này chia khối chóp thành 2 khối \(S.AMN\) và \(AMNBC\).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC.\)
Vì \(MN//BC \Rightarrow \) Theo định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{SN}}{{SC}} = \frac{2}{3}\left( { = \frac{{SG}}{{SH}}} \right)\).
\(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{4}{9} \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \frac{4}{9}{V_{S.ABC}}\).
Mà \({V_{S.AMN}} + {V_{AMNBC}} = {V_{S.ABC}} \Rightarrow {V_{AMNBC}} = \frac{5}{9}{V_{S.ABC}} = V\).
Ta có \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(B \Rightarrow AB = BC = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = a \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}{a^2}\).
\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}a.\frac{1}{2}{a^2} = \frac{{{a^3}}}{6}\).
Vậy \(V = \frac{5}{9}.\frac{{{a^3}}}{6} = \frac{{5{a^3}}}{{54}}\).
Chọn A.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Võ Trường Toản
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm \(O\) và \(O'\), bán kính đáy bằng chiều cao và bằng \(2a\). Trên đường tròn đáy có tâm \(O\) lấy điểm \(A\), trên đường tròn tâm \(O'\) lấy điểm \(B\). Đặt \(\alpha \) là góc giữa \(AB\) và đáy. Tính \(\tan \alpha \) khi thể tích khối tứ diện \(OO'AB\) đạt giá trị lớn nhất.
-
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho \(A\left( { - 1;0;0} \right)\), \(B\left( {0;0;2} \right)\), \(C\left( {0; - 3;0} \right)\). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\) là
-
Hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 1\) có đồ thị nào trong các đồ thị dưới đây?
.JPG)
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau
.JPG)
Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
.JPG)
-
Hàm số nào trong các hàm số sau đây có đồ thị phù hợp với hình bên?
.JPG)
-
Gọi \(n\) là số nguyên dương sao cho \(\dfrac{1}{{{{\log }_3}x}} + \dfrac{1}{{{{\log }_{{3^2}}}x}} + \dfrac{1}{{{{\log }_{{3^3}}}x}} + ... + \dfrac{1}{{{{\log }_{{3^n}}}x}} \) \(= \dfrac{{190}}{{{{\log }_3}x}}\) đúng với mọi \(x\) dương, \(x \ne 1\). Tìm giá trị của biểu thức \(P = 2n + 3\).
-
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho \(A\left( {2;0;1} \right),B\left( {0;5; - 1} \right).\)Tích vô hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {OB} \) bằng
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại\(A\),\(AB = 1{\rm{cm}}\),\(AC = \sqrt 3 {\rm{cm}}\). Tam giác \(SAB\), \(SAC\) lần lượt vuông tại \(B\) và \(C\). Khối cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) có thể tích bằng\(\frac{{5\sqrt 5 \pi }}{6}{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\). Tính khoảng cách từ \(C\) tới \(\left( {SAB} \right)\)
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} \right)^{2x + 1}} > 1\) (với \(a\) là tham số, \(a \ne 0\)) là
-
Cho tứ diện \(ABCD\) có hai mặt \(ABC\) và \(ABD\) là các tam giác đều. Tính góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\).
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\,1} \right]\) và thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = 0\). Biết \(\int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right){\rm{d}}x = \dfrac{9}{2}} \) và \(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right){\rm{cos}}\dfrac{{\pi x}}{2}{\rm{d}}x = \dfrac{{3\pi }}{4}} \). Tích phân \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác cân tại \(A\), \(AB = AC = a\), \(\widehat {BAC} = 120^\circ \). Tam giác \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABC\).
-
Tìm tập nghiệm của phương trình \({3^{{x^2} + 2x}} = 1\).
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có các cạnh \(SA = BC = 3\); \(SB = AC = 4\); \(SC = AB = 2\sqrt 5 \). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng SB và SD. Biết \(\angle HAK = 40^0.\) Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng
.JPG)
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.JPG)
Hàm số đạt cực đại tại điểm nào trong các điểm sau đây?
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang vuông tại \(A\)và \(B\). Biết \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(AB = BC = a\), \(AD = 2a\), \(SA = a\sqrt 2 \). Gọi \(E\) là trung điểm của \(AD\). Tính bán kính mặt cầu đi qua các điểm \(S\), \(A\), \(B\), \(C\), \(E\).
-
Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng \(V\). Tính thể tích khối đa diện \(ABCB'C'\).
-
Hàm số \(y = {x^4} - {x^3} - x + 2019\) có bao nhiêu điểm cực trị?
