Có tất cả bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left[ {{3}^{2x}}-{{4.3}^{x+1}}+27 \right]\left[ {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x-3 \right]\le 0\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện: \(x>-1\)
Bất phương trình tương đương \(\left\{ \begin{align} & {{3}^{2x}}-{{4.3}^{x+1}}+27\ge 0 \\ & {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x-3\le 0 \\ \end{align} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{align} & {{3}^{2x}}-{{4.3}^{x+1}}+27\le 0 \\ & {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x-3\ge 0 \\ \end{align} \right.\).
- Ta xét hệ bất phương trình đầu tiên \(\left\{ \begin{align} & {{3}^{2x}}-{{12.3}^{x}}+27\ge 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x-3\le 0\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.\)
\(\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{3}^{x}}\le 3\vee {{3}^{x}}\ge 9\Leftrightarrow x\le 1\vee x\ge 2\).
Xét hàm \(f\left( x \right)={{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x-3\) với \(x\in \left( -1;1 \right]\cup \left[ 2;+\infty \right)\)
\(\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{1}{\left( x+1 \right)\ln 3}+1>0,\forall x\in \left( -1;1 \right]\cup \left[ 2;+\infty \right)\)
Khi đó bất phương trình (2) có ba nghiệm nguyên là \(x\in \left\{ 0;1;2 \right\}\).
- Ta xét hệ bất phương trình còn lại \(\left\{ \begin{align} & {{3}^{2x}}-{{12.3}^{x}}+27\le 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \\ & {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x-3\ge 0\,\,\,\left( 4 \right) \\ \end{align} \right.\)
Ta có \(\left( 3 \right)\Leftrightarrow 3\le {{3}^{x}}\le 9\Leftrightarrow 1\le x\le 2\)
Tương tự, xét hàm \(f\left( x \right)={{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x-3\) với \(x\in \left[ 1;2 \right]\)
\(\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{1}{\left( x+1 \right)\ln 3}+1>0,\forall x\in \left[ 1;2 \right]\)
Nhận thấy chỉ có \(f\left( 2 \right)=0\) nên bất phương trình (4) chỉ có nghiệm nguyên là \(x=2\).
Cuối cùng bất phương trình có ba nghiệm nguyên là \(x\in \left\{ 0;1;2 \right\}\).
Chọn D
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Ngô Quyền
Câu hỏi liên quan
-
Gọi \(m,M\) lần lượt là GTNN, GTLN của hàm số \(y=x-\ln x\) trên đoạn \(\left[ \frac{1}{2};e \right]\). Tính giá trị của \(M-m\)?
-
Đồ thị của hàm số nào bên dưới có dạng như đường cong trong hình?
-
Cho HS \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có \(f\left( -2 \right)=2;f\left( 0 \right)=1.\) Tính \(I=\int\limits_{-2}^{0}{\frac{{f}'\left( x \right)-f\left( x \right)}{{{e}^{x}}}dx}\)?
-
Hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình. Giá trị của \(\int\limits_{-2}^{2}{f\left( x \right)dx}\) bằng?
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy, \(SC=a\sqrt{3}\). Gọi \(M,\,N,P,\,Q\) lần lượt là trung điểm của \(SB,\,SD,CD,\,BC\). Tính thể tích của khối chóp\(A.MNPQ\)?
-
Trong không gian \(Oxyz\), điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng \(d:\frac{x}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z}{1}\)?
-
Xét các số phức \(\text{w}\), \(z\) thỏa mãn \(\left| \text{w}+i \right|=\frac{3\sqrt{5}}{5}\) và \(5w=\left( 2+i \right)\left( z-4 \right)\). Tìm GTLN của biểu thức \(P=\left| z-2i \right|+\left| z-6-2i \right|\)?
-
Tìm đường tiệm cận ngang của ĐTHS \(y=\frac{3x-4}{x-1}\)?
-
Trong không gian với hệ tọa độ \(\text{O}xyz\), cho các điểm \(A\left( 1;0;0 \right)\), \(B\left( 0;2;0 \right)\),\(C\left( 0;0;4 \right)\). Viết PTĐT \(\Delta \) đi qua trực tâm \(H\) của tam giác \(\Delta ABC\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\)?
-
Cho khối tứ diện \(ABCD\) có thể tích \(V\). Gọi \(V'\) là thể tích của khối tám mặt có các đỉnh là trung điểm các cạnh của khối đa diện \(ABCD\). Tính tỉ số giữa \(\frac{V'}{V}\) bằng?
-
Cho hình chóp \(S.ABC\text{D}\) có đáy \(ABC\text{D}\) là hình vuông cạnh \(a\). Tam giác \(SAB\) vuông tại \(S\) và nằm trong mp vuông góc với đáy. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\text{D}\) bằng?
-
Cho HS \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ a;b \right]\). Gọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi ĐTHS \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và 2 đường thẳng \(x=a,\ x=b\). Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay \(D\) quanh trục hoành được tính theo công thức?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\) có pt \(d:\,\left\{ \begin{align}
& x=-1+t \\
& y=2-3t \\
& z=t \\
\end{align} \right.\) và điểm \(A\left( 2;\,3;\,1 \right).\) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\), vuông góc với đường thẳng \(d\) có phương trình là? -
Hãy tìm tập xác định của hàm số \(y={{({{x}^{3}}+27)}^{\frac{\pi }{2}}}\)?
-
Cho số phức \(z=-2+i\). Trong hình dưới đây, điểm biểu diễn số phức \(\overline{z}\) là?
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh bằng \(a\), cạnh \(SA\) vuông góc với mặt đáy và \(SA=2a\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(SC\), tính côsin góc \(\varphi \) giữa đường thẳng \(BM\) và mp \(\left( ABC \right)\)?
-
Giá trị cực tiểu của hàm số sau \(y=-{{x}^{3}}+3x+4\)?
-
Vườn hoa của một trường học có hình dạng được giới hạn bởi một đường elip có 4 đỉnh \(A,\,B,\,C,\,D\) và 2 đường parabol có các đỉnh lần lượt là \(E,\,F\) (phần tô đậm của hình vẽ bên). Hai đường parabol có cùng trục đối xứng \(AB\), đối xứng nhau qua trục \(CD\), hai parabol cắt elip tại các điểm \(M,\,N,\,P,\,Q\). Biết \(AB=8\,m,\,CD=6\,m, \) \(MN=PQ=3\sqrt{3}\,m,\,EF=2\,m\). Chi phí để trồng hoa trên vườn là \(300.000\)đ/\({{m}^{2}}\). Hỏi số tiền trồng hoa cho cả vườn gần nhất với số tiền nào dưới đây?
-
Tính tổng \(T\) tất cả các nghiệm thực của phương trình sau \({{4.9}^{x}}-{{13.6}^{x}}+{{9.4}^{x}}=0\)?
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để pt \(x{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)={{\log }_{9}}\left[ 9{{\left( x+1 \right)}^{2m}} \right]\) có 2 nghiệm phân biệt?
