Cho hàm bậc ba \(f\left( x \right)\) có đồ thị hàm số như hình vẽ:
Biết hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại hai điểm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) thỏa mãn \({{x}_{2}}={{x}_{1}}+2\) và \(f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)=2\). Gọi \({{S}_{1}},{{S}_{2}}\) là diện tích của hai hình phẳng được cho trong hình vẽ bên. Tính tỉ số \(\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiDo \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại hai điểm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\)
\(\Rightarrow {f}'\left( x \right)=3a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)=3a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{1}}-2 \right)=3a{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}-6a\left( x-{{x}_{1}} \right),\,\,\,\left( a>0 \right)\)
\(\Rightarrow f\left( x \right)=a{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{3}}-3a{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+C\).
Ta có: \(f\left( {{x}_{1}} \right)=C\),\(f\left( {{x}_{2}} \right)=-4a+C\) và \(f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)=2\)\(\Rightarrow C=2a+1\)
\(\Rightarrow f\left( x \right)=a{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{3}}-3a{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+2a+1\).
Ta có: \({{S}_{2}}=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{1}}+1}{\left| f\left( x \right)-1 \right|\text{d}x}=a\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{1}}+1}{\left[ {{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{3}}-3{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+2 \right]\text{d}x}=a\int\limits_{0}^{1}{\left( {{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+2 \right)\text{d}t}=\frac{5a}{4}\)
Do tính chất đối xứng qua điểm uốn của hàm bậc ba nên ta có được:
\(\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\frac{\left( f\left( {{x}_{1}} \right)-1 \right)-{{S}_{2}}}{{{S}_{2}}}=\frac{2a}{\frac{5a}{4}}-1=\frac{3}{5}\).
Chọn B
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Ngô Quyền
Câu hỏi liên quan
-
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số sau \(y={{e}^{x}}+2x\)?
-
Trong không gian \(Oxyz\), điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng \(d:\frac{x}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z}{1}\)?
-
Tính tổng \(T\) tất cả các nghiệm thực của phương trình sau \({{4.9}^{x}}-{{13.6}^{x}}+{{9.4}^{x}}=0\)?
-
Hãy tìm tập xác định của hàm số \(y={{({{x}^{3}}+27)}^{\frac{\pi }{2}}}\)?
-
Trong không gian \(Oxyz\), vectơ nào là VTCP của đường thẳng \(d:\frac{x}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z}{1}\)?
-
Hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình. Giá trị của \(\int\limits_{-2}^{2}{f\left( x \right)dx}\) bằng?
-
Cho hình chóp \(S.ABC\text{D}\) có đáy \(ABC\text{D}\) là hình vuông cạnh \(a\). Tam giác \(SAB\) vuông tại \(S\) và nằm trong mp vuông góc với đáy. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\text{D}\) bằng?
-
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có mặt đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\) có \(AB=a,\,AC=a\sqrt{3},\,{A}'B=2a\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AC\). Tính khoảng cách từ \(M\) đến \(\left( {A}'BC \right)\)?
-
Có tất cả bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left[ {{3}^{2x}}-{{4.3}^{x+1}}+27 \right]\left[ {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x-3 \right]\le 0\)?
-
Một vật chuyển động theo quy luật \(s=-\frac{1}{3}{{t}^{3}}+6{{t}^{2}}\) với \(t\) (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và \(s\) (mét) là quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian \(7\) giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bao nhiêu?
-
Đồ thị của hàm số nào bên dưới có dạng như đường cong trong hình?
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để HS \(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-(2m-3)x-m+2\) luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}?\)
-
Cho số phức \(z=-2+i\). Trong hình dưới đây, điểm biểu diễn số phức \(\overline{z}\) là?
-
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| 5z \right|=\left| \left( 4+3i \right)z-25 \right|\) là đường thẳng có pt?
-
Phương trình \({{z}^{2}}+az+b=0;(a,b\in \mathbb{R})\) có nghiệm phức là \(3+4i\). Tính giá trị của \(a+b\)?
-
Cho một hộp chứa 7 quả cầu xanh, 5 quả cầu vàng (các quả cầu đôi một khác nhau). Chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp, tính xác suất để 3 quả được chọn có ít nhất 2 quả xanh?
-
Cho hình lăng trụ \({ABC.A'B'C'}\) có \(A{A}'=A{B}'=A{C}'\). Tam giác \({ABC}\) vuông cân tại \({A}\) có \({BC=2a}\). Khoảng cách từ \({A}'\) đến mặt phẳng \(\left( BC{C}'{B}' \right)\) là \(\frac{a\sqrt{3}}{3}\). Tính thể tích khối lăng trụ đã cho?
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), từ điểm \(A\left( 1;1;0 \right)\) kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( -1;1;1 \right)\) và bán kính \(R=1\). Gọi \(M\left( a;b;c \right)\) là một trong các tiếp điểm ứng với các tiếp tuyến trên. Tìm GTLN của biểu thức \(T=\left| 2a-b+2c \right|\)?
-
Cho HS \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ a;b \right]\). Gọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi ĐTHS \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và 2 đường thẳng \(x=a,\ x=b\). Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay \(D\) quanh trục hoành được tính theo công thức?
-
Cho \(\int\limits_{-2}^{2}{f\left( x \right)dx}=9\) và \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}=2\) thì giá trị của \(\int\limits_{-2}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng?
