Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \((x ; y)\, với \,x \leq 2020\) thỏa mãn điều kiện \(\log _{2} \frac{x+2}{y+1}+x^{2}+4 x=4 y^{2}+8 y+1\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\log _{2} \frac{x+2}{y+1}=4 y^{2}-x^{2}-4 x+8 y+1 \Leftrightarrow \log _{2}(x+2)-\log _{2}(y+1)=4(y+1)^{2}-(x+2)^{2}+1\\ &\Leftrightarrow \log _{2}(x+2)+(x+2)^{2}=\log _{2} 2(y+1)+[2(y+1)]^{2}\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \end{aligned}\)
Xét hàm số \(f(t)=\log _{2} t+t^{2} \text { trên } (0 ;+\infty)\)
Ta có: \(f^{\prime}(t)=\frac{1}{t \ln 2}+2 t>0 \,,\forall t \in(0 ;+\infty) \Rightarrow f(t)\) đồng biến trên \((0 ;+\infty)\).
\(\begin{aligned} &(1) \Leftrightarrow f(x+2)=f(2 y+2) \Leftrightarrow x+2=2 y+2 \Leftrightarrow x=2 y\\ &\text { Mà } 0<x \leq 2020 \Rightarrow 0<y \leq 1010 \end{aligned}\)
Vậy có 1010 cặp số nguyên dương ( x;y)
Đề thi thử tốt nghiệp THPT QG môn Toán năm 2020
Trường THPT Nho Quan B
Câu hỏi liên quan
-
Xét tích phân \(\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \ln x d x . \text { Nếu đặt } \ln x=t \text { thì } \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \ln x d x\) bằng:
-
Nếu \(\int_{1}^{2} f(x) d x=3 \text { thì } \int_{2}^{1} 5 f(x) d x \text { là }\)
-
Cho hai số phức \(z_{1}=-1+i \text { và } z_{2}=-2+3 i\). Phần ảo của số phức \(z_{1}-3 z_{2}\) bằng
-
Trong buổi lễ phát thưởng cho các học sinh tiêu biểu, lớp 12A có 1 học sinh, lớp 12B có 4 học sinh, lớp 12C có 5 học sinh. Các học sinh được xếp thành một hàng ngang sao cho học sinh lớp 12A luôn đứng giữa một học sinh lớp 12B và một học sinh lớp 12C . Có bao nhiêu cách xếp như vậy?
-
Cho hàm số \(f(x)=\left|\frac{x^{2}+(m-2) x+2-m}{x-1}\right|\), trong đó m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m thỏa mãn \(\min\limits _{[2 ; 3]} f(x)+2 \max\limits _{[2 ; 3]} f(x)=\frac{1}{2}\). Số phần tử của tập S là:
-
Cho hàm số \(f(x), \text { có } f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 \text { và } f^{\prime}(x)=\sin x \cdot \cos ^{2} 2 x, \forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x\) bằng:
-
Cho hàm số f (x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu của f '(x) như sau. Điểm cực đại của hàm số trên là
-
Cho hình nón (N ) có đường kính đáy bằng 4a , đường sinh bằng 5a . Tính diện tích xung quanh của hình nón (N ).
-
Trong không gian Oxyz cho điểm \(A(-2 ; 0 ; 1) ; B(0 ; 2 ; 3)\) và mặt phẳng \((P): 2 x+y+z-1=0\). Đường thẳng d qua trung điểm I của AB và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là:
-
Cho cấp số nhân với \(u_1=3\) và \(u_2 = 9\) . Công bội của cấp số nhân đã cho là:
-
Cho hai số thực dương x y ; thỏa mãn \(\log _{3} x+x y=\log _{3}(8-y)+x(8-x)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=x^{3}-\left(x^{2}+y^{2}\right)-16 x\) bằng?
-
Mođun của số phức \(z=1-2 i\) là:
-
Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)=e^{2020 x}\).
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số \(y=\frac{1}{4} x^{4}+m x-\frac{3}{2 x}\) đồng biến trên khoảng \((0;+\infty)\).
-
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức \(z=-3 i\) là điểm nào dưới đây ?
-
Trong không gian Oxyz , Cho mặt cầu \((S): x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x+2 y-4 z-3=0\). Đường kính của (S) là:
-
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và \(SC=a\sqrt3\) (minh họa như hình bên). Góc giữa mặt phẳng (SBC) và và mặt phẳng (ABCD) bằng
-
Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, \(A B=a \text { và } A C=\sqrt{3} a\) . Tính độ dài đường sinh l của hình nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB .
-
Trong không gian Oxyz , mặt phẳng \((P): x+2 y-3 z+1=0\) song song với mặt phẳng nào dưới đây ?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, \(S A \perp(A B C D) \text { và } S A=a \sqrt{3}\) . Khi đó thể tích của hình chóp S.ABCD bằng:
