Cho hàm số \(f(x), \text { có } f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 \text { và } f^{\prime}(x)=\sin x \cdot \cos ^{2} 2 x, \forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x\) bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Ta có } I=f(x)=\int f^{\prime}(x) d x=\int \sin x \cdot \cos ^{2} 2 x d x=\int \sin x\left(2 \cos ^{2} x-1\right)^{2} d x\)
\(\text { Đặt } t=\cos x \Rightarrow d t=-\sin x d x\)
\(\begin{array}{l} \text { Suy ra } I=-\int\left(2 t^{2}-1\right)^{2} d t=-\int\left(4 t^{4}-4 t^{2}+1\right) d t=-\frac{4}{5} t^{5}+\frac{4}{3} t^{3}-t+c \\ \text { Hay } I=-\frac{4}{5} \cos ^{5} x+\frac{4}{3} \cos ^{3} x-\cos x+C \Rightarrow f(x)=-\frac{4}{5} \cos ^{5} x+\frac{4}{3} \cos ^{3} x-\cos x+C \end{array}\)
\(\text { Mà } f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 \Rightarrow C=0 . \text { Vậy } f(x)=-\frac{4}{5} \cos ^{5} x+\frac{4}{3} \cos ^{3} x-\cos x\)
Tích phân \(J=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(-\frac{4}{5} \cos ^{5} x+\frac{4}{3} \cos ^{3} x-\cos x\right) d x\)
\(\begin{array}{l} =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x\left(-\frac{4}{5} \cos ^{4} x+\frac{4}{3} \cos ^{2} x-1\right) d x \\ =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x\left(-\frac{4}{5}\left(1-\sin ^{2} x\right)^{2}+\frac{4}{3}\left(1-\sin ^{2} x\right)-1\right) d x \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \text { Đặt } t=\sin x \Rightarrow d t=\cos x d x \\ \text { Đổi cận } x=0 \Rightarrow t=0 ; x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow t=1 \end{array}\)
Khi đó \(J=\int_{0}^{1}\left[-\frac{4}{5}\left(1-t^{2}\right)^{2}+\frac{4}{3}\left(1-t^{2}\right)-1\right] d t=-\frac{121}{225}\)
Đề thi thử tốt nghiệp THPT QG môn Toán năm 2020
Trường THPT Nho Quan B
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây là sai?
-
Cho hình nón (N ) có đường kính đáy bằng 4a , đường sinh bằng 5a . Tính diện tích xung quanh của hình nón (N ).
-
Thể tích của một khối lập phương cạnh \(1\over2\) bằng
-
Nghiệm của phương trình \(2^{x+1}=16\) là?
-
Tập nghiệm của bất phương trình \(\log _{\frac{1}{2}} x<3\) là:
-
Cho cấp số nhân với \(u_1=3\) và \(u_2 = 9\) . Công bội của cấp số nhân đã cho là:
-
Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của A(2;1;1) lên mặt phẳng (Oyz) có tọa độ là:
-
Xét tích phân \(\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \ln x d x . \text { Nếu đặt } \ln x=t \text { thì } \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \ln x d x\) bằng:
-
Tập xác định của hàm số: \(y=x^{\frac{2}{3}}\) là:
-
Cho hình lập phương ABCD. A' B' C' D' cạnh bằng 3a ,\(K \in C C^{\prime} \text { sao cho } C K=\frac{2}{3} C C^{\prime}\). Mặt phẳng \((\alpha)\) qua A,K và song song với \(B'D'\) chia khối lập phương trình hai phần. Tính thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh C.
-
Số tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\frac{2 x-3}{x+1}\)là:
-
Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị trong hình bên. Số nghiệm của phương trình \(2 f(x)-3=0\) là:
-
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=4 x^{2}+x, y=-1, x=0 \text { và } x=1\) được tính bởi công thức nào sau đây?
-
Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=-x^{3}+3 x^{2}-7\) và trục hoành là:
-
Trong không gian Oxyz , Cho đường thẳng \(\Delta:\left\{\begin{array}{l} x=2+t \\ y=-1-t \\ z=1 \end{array}\right.\). Véc tơ nào dưới đây là một véc tơ chỉ phương của \(\Delta\)?
-
Cho hai số thực dương x y ; thỏa mãn \(\log _{3} x+x y=\log _{3}(8-y)+x(8-x)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=x^{3}-\left(x^{2}+y^{2}\right)-16 x\) bằng?
-
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức \(z=-3 i\) là điểm nào dưới đây ?
-
Với a, b là hai số thực dương khác 1, ta có \(\log _{b^{2}} a\) bằng
-
Hình vẽ bên là đồ thị hàm số \(y=\frac{a x+b}{c x+d}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho hàm số \(f(x)=\left|\frac{x^{2}+(m-2) x+2-m}{x-1}\right|\), trong đó m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m thỏa mãn \(\min\limits _{[2 ; 3]} f(x)+2 \max\limits _{[2 ; 3]} f(x)=\frac{1}{2}\). Số phần tử của tập S là:
