Cho hàm số \(f(x), \text { có } f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 \text { và } f^{\prime}(x)=\sin x \cdot \cos ^{2} 2 x, \forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x\) bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Ta có } I=f(x)=\int f^{\prime}(x) d x=\int \sin x \cdot \cos ^{2} 2 x d x=\int \sin x\left(2 \cos ^{2} x-1\right)^{2} d x\)
\(\text { Đặt } t=\cos x \Rightarrow d t=-\sin x d x\)
\(\begin{array}{l} \text { Suy ra } I=-\int\left(2 t^{2}-1\right)^{2} d t=-\int\left(4 t^{4}-4 t^{2}+1\right) d t=-\frac{4}{5} t^{5}+\frac{4}{3} t^{3}-t+c \\ \text { Hay } I=-\frac{4}{5} \cos ^{5} x+\frac{4}{3} \cos ^{3} x-\cos x+C \Rightarrow f(x)=-\frac{4}{5} \cos ^{5} x+\frac{4}{3} \cos ^{3} x-\cos x+C \end{array}\)
\(\text { Mà } f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 \Rightarrow C=0 . \text { Vậy } f(x)=-\frac{4}{5} \cos ^{5} x+\frac{4}{3} \cos ^{3} x-\cos x\)
Tích phân \(J=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(-\frac{4}{5} \cos ^{5} x+\frac{4}{3} \cos ^{3} x-\cos x\right) d x\)
\(\begin{array}{l} =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x\left(-\frac{4}{5} \cos ^{4} x+\frac{4}{3} \cos ^{2} x-1\right) d x \\ =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x\left(-\frac{4}{5}\left(1-\sin ^{2} x\right)^{2}+\frac{4}{3}\left(1-\sin ^{2} x\right)-1\right) d x \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \text { Đặt } t=\sin x \Rightarrow d t=\cos x d x \\ \text { Đổi cận } x=0 \Rightarrow t=0 ; x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow t=1 \end{array}\)
Khi đó \(J=\int_{0}^{1}\left[-\frac{4}{5}\left(1-t^{2}\right)^{2}+\frac{4}{3}\left(1-t^{2}\right)-1\right] d t=-\frac{121}{225}\)
Đề thi thử tốt nghiệp THPT QG môn Toán năm 2020
Trường THPT Nho Quan B
Câu hỏi liên quan
-
Cho hai số thực dương x y ; thỏa mãn \(\log _{3} x+x y=\log _{3}(8-y)+x(8-x)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=x^{3}-\left(x^{2}+y^{2}\right)-16 x\) bằng?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, \(S A \perp(A B C D) \text { và } S A=a \sqrt{3}\) . Khi đó thể tích của hình chóp S.ABCD bằng:
-
Cho lăng trụ tam giác \(A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} \operatorname{có} B B^{\prime}=a\), góc giữa BB' và mặt phẳng (ABC) bằng \(30^o\). Hình chiếu vuông góc của B' lên mp (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'B'C').
-
Tập nghiệm của bất phương trình \(4^{x}-3.2^{x}+2>0\) là:
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm \( M(1 ; 2 ; 3) ; N(-1 ; 1 ; 2)\) Phương trình mặt phẳng trung trực của MN là:
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x^{4}-6 x^{2}-9\) trên đoạn [-1;4] bằng:
-
Hình vẽ bên là đồ thị hàm số \(y=\frac{a x+b}{c x+d}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho hình nón (N ) có đường kính đáy bằng 4a , đường sinh bằng 5a . Tính diện tích xung quanh của hình nón (N ).
-
Cho cấp số nhân với \(u_1=3\) và \(u_2 = 9\) . Công bội của cấp số nhân đã cho là:
-
Trong không gian Oxyz cho điểm \(A(-2 ; 0 ; 1) ; B(0 ; 2 ; 3)\) và mặt phẳng \((P): 2 x+y+z-1=0\). Đường thẳng d qua trung điểm I của AB và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là:
-
Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của A(2;1;1) lên mặt phẳng (Oyz) có tọa độ là:
-
Mođun của số phức \(z=1-2 i\) là:
-
Trong không gian Oxyz , Cho mặt cầu \((S): x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x+2 y-4 z-3=0\). Đường kính của (S) là:
-
. Hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh 2a thì có diện tích toàn phần bằng
-
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=4 x^{2}+x, y=-1, x=0 \text { và } x=1\) được tính bởi công thức nào sau đây?
-
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình \(f( \sqrt{1+x}-\sqrt{3-x})=f( \sqrt{|m|+1})\) có nghiệm?
-
Cho hàm số f (x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu của f '(x) như sau. Điểm cực đại của hàm số trên là
-
Cho hình lập phương ABCD. A' B' C' D' cạnh bằng 3a ,\(K \in C C^{\prime} \text { sao cho } C K=\frac{2}{3} C C^{\prime}\). Mặt phẳng \((\alpha)\) qua A,K và song song với \(B'D'\) chia khối lập phương trình hai phần. Tính thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh C.
-
Trong buổi lễ phát thưởng cho các học sinh tiêu biểu, lớp 12A có 1 học sinh, lớp 12B có 4 học sinh, lớp 12C có 5 học sinh. Các học sinh được xếp thành một hàng ngang sao cho học sinh lớp 12A luôn đứng giữa một học sinh lớp 12B và một học sinh lớp 12C . Có bao nhiêu cách xếp như vậy?
-
Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)=e^{2020 x}\).
