Cho hàm số y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình \(f( \sqrt{1+x}-\sqrt{3-x})=f( \sqrt{|m|+1})\) có nghiệm?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiPhương trình \(f( \sqrt{1+x}-\sqrt{3-x})=f( \sqrt{|m|+1})\,\,\,\,(1)\).
ĐK: \(x\in [-1;3]\)
\(\text { Đặt } t=\sqrt{1+x}-\sqrt{3-x}\)
Xét hàm số \(g (x)=\sqrt{1+x}-\sqrt{3-x}, x\in [-1;3]\)
Ta có \(g^{\prime}( x)=\frac{1}{2 \sqrt{1+x}}+\frac{1}{2 \sqrt{3-x}}>0, \,\forall x \in(-1 ; 3)\Rightarrow g(x)\) đồng biến trên khoảng (-1;3).
do đó khi \(x\in [-1;3] \Rightarrow t \in[g(-1) ; g( 3)] \text { hay } t \in(-2 ; 2)\)
+ Phương trình (1) trở thành \(f (t)=f( \sqrt{|m|+1})\)(2)
Phương trình (1) có nghiệm \(\Leftrightarrow \) phương trình (2) có nghiệm \(t \in[-2 ; 2]\).
\(\Leftrightarrow\) đường thẳng\(y=f (\sqrt{|m|+1})\) cắt đồ thị hàm số y=f(t) tại ít nhất một điểm có hoành độ thuộc [-2;2].
+ ta có bảng biến thiên:
Suy ra phương trình (1) có nghiệm
\(\Leftrightarrow 0 \leq f(\sqrt{|m|+1}) \leq 4\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow-2 \leq \sqrt{|m|+1} \leq 2 \\ \Leftrightarrow|m|+1 \leq 4 \\ \Leftrightarrow-3 \leq m \leq 3 \end{array}\)
Vậy có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đề thi thử tốt nghiệp THPT QG môn Toán năm 2020
Trường THPT Nho Quan B
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình trụ T . Biết rằng khi cắt hình trụ T bới mặt phẳng (P) vuông góc với trục được thiết diện là đường tròn có chu vi \(6a\pi\) và cắt hình trụ T bởi mặt phẳng Q song song với trục và cách trục một khoảng bằng 2a, thiết diện thu được là một hình vuông. Tính thể tích khối trụ T.
-
Cho hai số phức \(z_{1}=-1+i \text { và } z_{2}=-2+3 i\). Phần ảo của số phức \(z_{1}-3 z_{2}\) bằng
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số \(y=\frac{1}{4} x^{4}+m x-\frac{3}{2 x}\) đồng biến trên khoảng \((0;+\infty)\).
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, \(S A \perp(A B C D) \text { và } S A=a \sqrt{3}\) . Khi đó thể tích của hình chóp S.ABCD bằng:
-
Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của A(2;1;1) lên mặt phẳng (Oyz) có tọa độ là:
-
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và \(SC=a\sqrt3\) (minh họa như hình bên). Góc giữa mặt phẳng (SBC) và và mặt phẳng (ABCD) bằng
-
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây là sai?
-
Trong không gian Oxyz , Cho mặt cầu \((S): x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x+2 y-4 z-3=0\). Đường kính của (S) là:
-
Cho số phức \(\bar{z}=(1-i)(1+2 i)\) .Giả sử điểm M là điểm biểu diễn số phức z . Điểm M thuộc đường thẳng nào?
-
Tập xác định của hàm số: \(y=x^{\frac{2}{3}}\) là:
-
Nghiệm của phương trình \(2^{x+1}=16\) là?
-
Tập nghiệm của bất phương trình \(4^{x}-3.2^{x}+2>0\) là:
-
. Hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh 2a thì có diện tích toàn phần bằng
-
Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \((x ; y)\, với \,x \leq 2020\) thỏa mãn điều kiện \(\log _{2} \frac{x+2}{y+1}+x^{2}+4 x=4 y^{2}+8 y+1\).
-
Số tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\frac{2 x-3}{x+1}\)là:
-
Cho hàm số \(f(x), \text { có } f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 \text { và } f^{\prime}(x)=\sin x \cdot \cos ^{2} 2 x, \forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x\) bằng:
-
Thể tích của một khối lập phương cạnh \(1\over2\) bằng
-
Xét tích phân \(\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \ln x d x . \text { Nếu đặt } \ln x=t \text { thì } \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \ln x d x\) bằng:
-
Trong không gian Oxyz cho điểm \(A(-2 ; 0 ; 1) ; B(0 ; 2 ; 3)\) và mặt phẳng \((P): 2 x+y+z-1=0\). Đường thẳng d qua trung điểm I của AB và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là:
-
Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=-x^{3}+3 x^{2}-7\) và trục hoành là:
