Cho $x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)$. Biết $\log \sin x + \log \cos x =  - 1$ và $\log \left( {\sin x + \cos x} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\log n - 1} \right)$. Giá trị của $n$ là 

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB = AD\sqrt 2$, $SA \bot \left( {ABC} \right)$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SDM} \right)$ bằng 

Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left( {2;0;0} \right),\,\,B\left( {0;4;0} \right),\,\,C\left( {0;0;6} \right),\,\,D\left( {2;4;6} \right)$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng song song với $mp\left( {ABC} \right)$, $\left( P \right)$ cách đều $D$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$. Phương trình của $\left( P \right)$ là: 

Hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và dấu của đạo hàm được cho bởi bảng dưới đây:

Hàm số $y = f\left( {2x - 2} \right)$ nghịch biến trên khoảng: 

Hình vẽ là đồ thị của hàm số:

Một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật có thể tích bằng $48$ và chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chất liệu làm đáy và 4 mặt bên của hộp có giá thành gấp ba lần giá thành của chất liệu làm nắp hộp. Gọi $h$ là chiều cao của hộp để giá thành của hộp là thấp nhất. Biết $h = \dfrac{m}{n}$ với $m$, $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tổng $m + n$ là 

Hàm số $y =  - {x^3} + 3{x^2} - 2$ đồng biến trên khoảng: 

Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng $6$ và chiều cao bằng $4$ là 

Cho hàm số $y = a{x^4} + b{x^2} + c$ ($a \ne 0$) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho $n \in {\mathbb{N}^*}$ và $C_n^2.C_n^{n - 2} + C_n^8.C_n^{n - 8} = 2C_n^2.C_n^{n - 8}$ . Tổng $T = {1^2}C_n^1 + {2^2}C_n^2 + ... + {n^2}C_n^n$ bằng: 

Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \dfrac{{3\cos x - 1}}{{3 + \cos x}}$. Tổng $M + m$ là 

Một hộp có 10 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên 5 quả từ hộp đó. Xác suất để được 5 quả có đủ hai màu là: 

Hàm số $y = \dfrac{1}{3}{x^3} + {x^2} - 3x + 1$ đạt cực tiểu tại điểm 

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{e^x} + m\,\,\,khi\,\,x \ge 0\\2x\sqrt {3 + {x^2}} \,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.$ liên tục trên  và $\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx}  = ae + b\sqrt 3  + c$, $\left( {a,b,c \in \mathbb{Q}} \right)$. Tổng $T = a + b + 3c$ bằng: 

Cho mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $O$, bán kính bằng 2. $\left( P \right)$ là mặt phẳng cách $O$ một khoảng bằng 1 và cắt $\left( S \right)$ theo một đường tròn $\left( C \right)$. Hình nón $\left( N \right)$ có đáy là $\left( C \right)$, đỉnh thuộc $\left( S \right)$, đỉnh cách $\left( P \right)$ một khoảng lớn hơn $2$. Kí hiệu ${V_1}$, ${V_2}$ lần lượt là thể tích của khối cầu $\left( S \right)$ và khối nón $\left( N \right)$. Tỉ số $\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}$ là 

Số giá trị nguyên của tham số $m$ nằm trong khoảng $\left( {0;2020} \right)$ để phương trình $\left| {\left| {x - 1} \right| - \left| {2019 - x} \right|} \right| = 2020 - m$ có nghiệm là 

Số nào sau đây là điểm cực đại của hàm số $y = {x^4} - 2{x^3} + {x^2} + 2$?

Cho hàm số $f\left( x \right) = m{x^4} + n{x^3} + p{x^2} + qx + r$ $\left( {m \ne 0} \right)$. Chia $f\left( x \right)$ cho $x - 2$ được phần dư bằng $2019$, chia $f'\left( x \right)$ cho $x - 2$ được phần dư bằng 2018. Gọi $g\left( x \right)$ là phần dư khi chia $f\left( x \right)$ cho ${\left( {x - 2} \right)^2}$. Giá trị của $g\left( { - 1} \right)$ là

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = a,\,\,AD = AA' = 2a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $DC'$ bằng: 

Cần sản xuất một vỏ hộp sữa hình trụ có thể tích  $V$ cho trước. Để tiết kiệm vật liệu nhất thì bán kính đáy phải bằng 

Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn $\left( {O;R} \right)$ và $\left( {O';R} \right)$. $AB$ là một dây cung của đường tròn $\left( {O;R} \right)$ sao cho tam giác $O'AB$ là tam giác đều và mặt phẳng $\left( {O'AB} \right)$ tạo với mặt phẳng chứa đường tròn $\left( {O;R} \right)$ một góc $60^\circ$. Tính theo $R$ thể tích $V$ của khối trụ đã cho.