Một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật có thể tích bằng \(48\) và chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chất liệu làm đáy và 4 mặt bên của hộp có giá thành gấp ba lần giá thành của chất liệu làm nắp hộp. Gọi \(h\) là chiều cao của hộp để giá thành của hộp là thấp nhất. Biết \(h = \dfrac{m}{n}\) với \(m\), \(n\) là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tổng \(m + n\) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi chiều rộng của nắp hộp là \(x\) và giá thành 1 đơn vị diện tích làm nắp hộp là \(a\) (cố định).
Khi đó giá thành làm 1 đơn vị diện tích mặt bên là \(3a.\)
Chiều dài nắp hộp là \(2x\) nên thể tích hình hộp chữ nhật là \(V = x.2x.h = 48 \Leftrightarrow h = \dfrac{{24}}{{{x^2}}}\)
Số tiền làm nắp hộp là \(x.2x.a = 2{x^2}.a\)
Số tiền lằm làm mặt bên và đáy là \(3a\left( {2.x.h + 2.2x.h + 2x.x} \right) = 3a\left( {6xh + 2{x^2}} \right)\)
Tổng số tiền làm hộp là \(M = 3a\left( {6xh + 2{x^2}} \right) + 2{x^2}.a = 18a.x.h + 8{x^2}.a = 18a.x.\dfrac{{24}}{{{x^2}}} + 8{x^2}.a\) (vì \(h = \dfrac{{24}}{{{x^2}}}\))
Nên \(M = 8a\left( {\dfrac{{54}}{{{x^2}}} + {x^2}} \right) = 8a\left( {\dfrac{{27}}{x} + \dfrac{{27}}{x} + {x^2}} \right)\mathop \ge \limits^{Co - si} 8a.3.\sqrt[3]{{\dfrac{{27}}{x}.\dfrac{{27}}{x}.{x^2}}} = 216a.\)
Dấu = xảy ra khi \(\dfrac{{27}}{x} = {x^2} \Rightarrow {x^3} = 27 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow h = \dfrac{{24}}{{{x^2}}} = \dfrac{{24}}{9} = \dfrac{8}{3}.\)
Vậy \({M_{\min }} = 216a \Leftrightarrow h = \dfrac{8}{3}\) nên \(m = 8;n = 3 \Rightarrow m + n = 8 + 3 = 11.\)
Chọn C
Câu hỏi liên quan
-
Cho \(a\) và \(b\) lần lượt là số hạng thứ hai và thứ mười của một cấp số cộng có công sai \(d \ne 0.\) Giá trị của biểu thức \({\log _2}\left( {\dfrac{{b - a}}{d}} \right)\) là một số nguyên có số ước tự nhiên bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{e^x} + m\,\,\,khi\,\,x \ge 0\\2x\sqrt {3 + {x^2}} \,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\) liên tục trên và \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} = ae + b\sqrt 3 + c\), \(\left( {a,b,c \in \mathbb{Q}} \right)\). Tổng \(T = a + b + 3c\) bằng:
-
Lăng trụ có chiều cao bằng \(a\), đáy là tam giác vuông cân và có thể tích bằng \(2{a^3}\). Cạnh góc vuông của đáy lăng trụ bằng
-
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(2\)và cạnh bên bằng \(2\sqrt 2 \). Gọi \(\alpha \)là góc của mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\). Khi đó \(\cos \alpha \) bằng:
-
Hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} + {x^2} - 3x + 1\) đạt cực tiểu tại điểm
-
Cho tứ diện \(ABCD\). Trên các cạnh \(AB\),\(BC\), \(CA\), \(AD\) lần lượt lấy 3; 4; 5; 6 điểm phân biệt khác các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\). Số tam giác phân biệt có các đỉnh là các điểm vừa lấy là
-
Tập xác định của hàm số \(y = {\left[ {\ln \left( {x - 2} \right)} \right]^\pi }\) là:
-
Cho khối chóp tứ giác \(S.ABCD\)có đáy \(ABCD\) là hình thoi và \(SABC\) là tứ diện đều cạnh \(a\). Thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\) là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx} = 10,\,\,\int\limits_3^4 {f\left( x \right)dx} = 4\). Tích phân \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \) bằng:
-
Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x + 2}}\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
-
Cho lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = 2\sqrt 3 ,\,\,BB' = 2\).Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) tương ứng là trung điểm của \(A'B',\,\,A'C',\,\,BC\). Nếu gọi \(\alpha \) là độ lớn của góc của hai mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {ACC'} \right)\) thì \(\cos \alpha \) bằng:
-
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(O\), bán kính bằng 2. \(\left( P \right)\) là mặt phẳng cách \(O\) một khoảng bằng 1 và cắt \(\left( S \right)\) theo một đường tròn \(\left( C \right)\). Hình nón \(\left( N \right)\) có đáy là \(\left( C \right)\), đỉnh thuộc \(\left( S \right)\), đỉnh cách \(\left( P \right)\) một khoảng lớn hơn \(2\). Kí hiệu \({V_1}\), \({V_2}\) lần lượt là thể tích của khối cầu \(\left( S \right)\) và khối nón \(\left( N \right)\). Tỉ số \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\) là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = m{x^4} + n{x^3} + p{x^2} + qx + r\) \(\left( {m \ne 0} \right)\). Chia \(f\left( x \right)\) cho \(x - 2\) được phần dư bằng \(2019\), chia \(f'\left( x \right)\) cho \(x - 2\) được phần dư bằng 2018. Gọi \(g\left( x \right)\) là phần dư khi chia \(f\left( x \right)\) cho \({\left( {x - 2} \right)^2}\). Giá trị của \(g\left( { - 1} \right)\) là
-
Cho \(n \in {\mathbb{N}^*}\) và \(C_n^2.C_n^{n - 2} + C_n^8.C_n^{n - 8} = 2C_n^2.C_n^{n - 8}\) . Tổng \(T = {1^2}C_n^1 + {2^2}C_n^2 + ... + {n^2}C_n^n\) bằng:
-
Số giá trị nguyên của tham số \(m\) nằm trong khoảng \(\left( {0;2020} \right)\) để phương trình \(\left| {\left| {x - 1} \right| - \left| {2019 - x} \right|} \right| = 2020 - m\) có nghiệm là
-
Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng \(6\) và chiều cao bằng \(4\) là
-
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên bằng \(\sqrt 2 a\). Độ lớn của góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng đáy bằng:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau.
.JPG)
Hàm số \(y = - 2f\left( x \right) + 2019\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
-
Xét các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - 1 - 3i} \right| = 2\). Số phức \(z\) mà \(\left| {z - 1} \right|\) nhỏ nhất là:
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( {2;0;0} \right),\,\,B\left( {0;4;0} \right),\,\,C\left( {0;0;6} \right),\,\,D\left( {2;4;6} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng song song với \(mp\left( {ABC} \right)\), \(\left( P \right)\) cách đều \(D\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Phương trình của \(\left( P \right)\) là:
